Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 18340 / 15336
↖ ↑ ↗
← N 11.436955°
E 21.489258°		 ← 1 197.38 m → N 11.436955°
E 21.500244°		 →
↑
1 197.37 m
↓
↑
1 197.37 m
↓
N 11.426187°
E 21.489258°		 ← 1 197.43 m →
1 433 731 m²		 N 11.426187°
E 21.500244°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 18340 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 15336 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.559707641601562 y=0.468032836914062 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.559707641601562 × 215)
    floor (0.559707641601562 × 32768)
    floor (18340.5)     		tx = 18340
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.468032836914062 × 215)
    floor (0.468032836914062 × 32768)
    floor (15336.5)     		ty = 15336
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 18340 / 15336 ti = "15/18340/15336"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/18340/15336.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 18340 ÷ 215
    18340 ÷ 32768     		x = 0.5596923828125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 15336 ÷ 215
    15336 ÷ 32768     		y = 0.468017578125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.5596923828125 × 2 - 1) × π
    0.119384765625 × 3.1415926535     		Λ = 0.37505830
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.468017578125 × 2 - 1) × π
    0.06396484375 × 3.1415926535     		Φ = 0.200951483207275
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.37505830} λ = 0.37505830}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.200951483207275))-π/2
    2×atan(1.22256545542962)-π/2
    2×0.885204425857053-π/2
    1.77040885171411-1.57079632675     		φ = 0.19961252
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.37505830} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 21.489258°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.19961252 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 11.436955°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 18340 KachelY 15336 0.37505830 0.19961252 21.489258 11.436955
    Oben rechts KachelX + 1 18341 KachelY 15336 0.37525005 0.19961252 21.500244 11.436955
    Unten links KachelX 18340 KachelY + 1 15337 0.37505830 0.19942458 21.489258 11.426187
    Unten rechts KachelX + 1 18341 KachelY + 1 15337 0.37525005 0.19942458 21.500244 11.426187
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.19961252-0.19942458) × R
    0.000187939999999998 × 6371000     		dl = 1197.36573999998m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.19961252-0.19942458) × R
    0.000187939999999998 × 6371000     		dr = 1197.36573999998m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.37505830-0.37525005) × cos(0.19961252) × R
    0.000191749999999991 × 0.980143484657647 × 6371000     		do = 1197.3817514895m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.37505830-0.37525005) × cos(0.19942458) × R
    0.000191749999999991 × 0.980180733887235 × 6371000     		du = 1197.42725661039m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.19961252)-sin(0.19942458))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.980143484657647-0.980180733887235)×R²
    abs(0.37525005-0.37505830)×3.72492295879212e-05×R²
    0.000191749999999991×3.72492295879212e-05×6371000²
    0.000191749999999991×3.72492295879212e-05×40589641000000     		ar = 1433731.13429121m²