Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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12 / 1834 / 918
↖ ↑ ↗
← N 69.960439°
W 18.808594°		 ← 3 348.90 m → N 69.960439°
W 18.720703°		 →
↑
3 351.27 m
↓
↑
3 351.27 m
↓
N 69.930300°
W 18.808594°		 ← 3 353.73 m →
11 231 166 m²		 N 69.930300°
W 18.720703°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 12 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 1834 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 918 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.4478759765625 y=0.2242431640625 und der Vergrößerungsstufe zoom=12 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.4478759765625 × 212)
    floor (0.4478759765625 × 4096)
    floor (1834.5)     		tx = 1834
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.2242431640625 × 212)
    floor (0.2242431640625 × 4096)
    floor (918.5)     		ty = 918
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 12 / 1834 / 918 ti = "12/1834/918"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/12/1834/918.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 1834 ÷ 212
    1834 ÷ 4096     		x = 0.44775390625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 918 ÷ 212
    918 ÷ 4096     		y = 0.22412109375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.44775390625 × 2 - 1) × π
    -0.1044921875 × 3.1415926535     		Λ = -0.32827189
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.22412109375 × 2 - 1) × π
    0.5517578125 × 3.1415926535     		Φ = 1.73339829026123
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.32827189} λ = -0.32827189}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.73339829026123))-π/2
    2×atan(5.65985509479608)-π/2
    2×1.39591816908197-π/2
    2.79183633816394-1.57079632675     		φ = 1.22104001
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.32827189} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -18.808594°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.22104001 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 69.960439°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 1834 KachelY 918 -0.32827189 1.22104001 -18.808594 69.960439
    Oben rechts KachelX + 1 1835 KachelY 918 -0.32673791 1.22104001 -18.720703 69.960439
    Unten links KachelX 1834 KachelY + 1 919 -0.32827189 1.22051399 -18.808594 69.930300
    Unten rechts KachelX + 1 1835 KachelY + 1 919 -0.32673791 1.22051399 -18.720703 69.930300
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.22104001-1.22051399) × R
    0.000526020000000127 × 6371000     		dl = 3351.27342000081m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.22104001-1.22051399) × R
    0.000526020000000127 × 6371000     		dr = 3351.27342000081m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.32827189--0.32673791) × cos(1.22104001) × R
    0.00153397999999999 × 0.34266888792337 × 6371000     		do = 3348.8984430586m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.32827189--0.32673791) × cos(1.22051399) × R
    0.00153397999999999 × 0.343163013265997 × 6371000     		du = 3353.72752340093m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.22104001)-sin(1.22051399))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.34266888792337-0.343163013265997)×R²
    abs(-0.32673791--0.32827189)×0.00049412534262766×R²
    0.00153397999999999×0.00049412534262766×6371000²
    0.00153397999999999×0.00049412534262766×40589641000000     		ar = 11231166.3817745m²