Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
17 / 18339 / 22619
↖ ↑ ↗
← N 75.434433°
W129.630432°		 ← 76.81 m → N 75.434433°
W129.627685°		 →
↑
76.83 m
↓
↑
76.83 m
↓
N 75.433742°
W129.630432°		 ← 76.81 m →
5 902 m²		 N 75.433742°
W129.627685°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 18339 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 22619 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.139919281005859 y=0.172573089599609 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.139919281005859 × 217)
    floor (0.139919281005859 × 131072)
    floor (18339.5)     		tx = 18339
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.172573089599609 × 217)
    floor (0.172573089599609 × 131072)
    floor (22619.5)     		ty = 22619
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 18339 / 22619 ti = "17/18339/22619"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/18339/22619.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 18339 ÷ 217
    18339 ÷ 131072     		x = 0.139915466308594
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 22619 ÷ 217
    22619 ÷ 131072     		y = 0.172569274902344
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.139915466308594 × 2 - 1) × π
    -0.720169067382812 × 3.1415926535     		Λ = -2.26247785
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.172569274902344 × 2 - 1) × π
    0.654861450195312 × 3.1415926535     		Φ = 2.05730792099395
    Länge (λ) Λ (unverändert) -2.26247785} λ = -2.26247785}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.05730792099395))-π/2
    2×atan(7.82487624522113)-π/2
    2×1.44368777818677-π/2
    2.88737555637354-1.57079632675     		φ = 1.31657923
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -2.26247785} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -129.630432°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.31657923 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 75.434433°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 18339 KachelY 22619 -2.26247785 1.31657923 -129.630432 75.434433
    Oben rechts KachelX + 1 18340 KachelY 22619 -2.26242991 1.31657923 -129.627685 75.434433
    Unten links KachelX 18339 KachelY + 1 22620 -2.26247785 1.31656717 -129.630432 75.433742
    Unten rechts KachelX + 1 18340 KachelY + 1 22620 -2.26242991 1.31656717 -129.627685 75.433742
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.31657923-1.31656717) × R
    1.20600000002025e-05 × 6371000     		dl = 76.8342600012899m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.31657923-1.31656717) × R
    1.20600000002025e-05 × 6371000     		dr = 76.8342600012899m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-2.26247785--2.26242991) × cos(1.31657923) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.251487744710793 × 6371000     		do = 76.8108305291745m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-2.26247785--2.26242991) × cos(1.31656717) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.251499417089927 × 6371000     		du = 76.8143955742092m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.31657923)-sin(1.31656717))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.251487744710793-0.251499417089927)×R²
    abs(-2.26242991--2.26247785)×1.16723791344642e-05×R²
    4.79399999999686e-05×1.16723791344642e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×1.16723791344642e-05×40589641000000     		ar = 5901.84028267416m²