Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 18339 / 15371
↖ ↑ ↗
← N 11.059821°
E 21.478272°		 ← 1 198.89 m → N 11.059821°
E 21.489258°		 →
↑
1 198.96 m
↓
↑
1 198.96 m
↓
N 11.049038°
E 21.478272°		 ← 1 198.93 m →
1 437 443 m²		 N 11.049038°
E 21.489258°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 18339 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 15371 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.559677124023438 y=0.469100952148438 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.559677124023438 × 215)
    floor (0.559677124023438 × 32768)
    floor (18339.5)     		tx = 18339
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.469100952148438 × 215)
    floor (0.469100952148438 × 32768)
    floor (15371.5)     		ty = 15371
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 18339 / 15371 ti = "15/18339/15371"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/18339/15371.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 18339 ÷ 215
    18339 ÷ 32768     		x = 0.559661865234375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 15371 ÷ 215
    15371 ÷ 32768     		y = 0.469085693359375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.559661865234375 × 2 - 1) × π
    0.11932373046875 × 3.1415926535     		Λ = 0.37486656
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.469085693359375 × 2 - 1) × π
    0.06182861328125 × 3.1415926535     		Φ = 0.194240317260468
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.37486656} λ = 0.37486656}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.194240317260468))-π/2
    2×atan(1.21438808631018)-π/2
    2×0.881913307464263-π/2
    1.76382661492853-1.57079632675     		φ = 0.19303029
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.37486656} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 21.478272°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.19303029 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 11.059821°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 18339 KachelY 15371 0.37486656 0.19303029 21.478272 11.059821
    Oben rechts KachelX + 1 18340 KachelY 15371 0.37505830 0.19303029 21.489258 11.059821
    Unten links KachelX 18339 KachelY + 1 15372 0.37486656 0.19284210 21.478272 11.049038
    Unten rechts KachelX + 1 18340 KachelY + 1 15372 0.37505830 0.19284210 21.489258 11.049038
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.19303029-0.19284210) × R
    0.000188190000000005 × 6371000     		dl = 1198.95849000003m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.19303029-0.19284210) × R
    0.000188190000000005 × 6371000     		dr = 1198.95849000003m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.37486656-0.37505830) × cos(0.19303029) × R
    0.000191739999999996 × 0.98142743007146 × 6371000     		do = 1198.88774286033m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.37486656-0.37505830) × cos(0.19284210) × R
    0.000191739999999996 × 0.98146351389162 × 6371000     		du = 1198.93182197243m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.19303029)-sin(0.19284210))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.98142743007146-0.98146351389162)×R²
    abs(0.37505830-0.37486656)×3.60838201590719e-05×R²
    0.000191739999999996×3.60838201590719e-05×6371000²
    0.000191739999999996×3.60838201590719e-05×40589641000000     		ar = 1437443.06661454m²