Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 18339 / 13849
↖ ↑ ↗
← N 26.814266°
E 21.478272°		 ← 1 090.22 m → N 26.814266°
E 21.489258°		 →
↑
1 090.33 m
↓
↑
1 090.33 m
↓
N 26.804461°
E 21.478272°		 ← 1 090.32 m →
1 188 758 m²		 N 26.804461°
E 21.489258°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 18339 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 13849 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.559677124023438 y=0.422653198242188 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.559677124023438 × 215)
    floor (0.559677124023438 × 32768)
    floor (18339.5)     		tx = 18339
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.422653198242188 × 215)
    floor (0.422653198242188 × 32768)
    floor (13849.5)     		ty = 13849
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 18339 / 13849 ti = "15/18339/13849"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/18339/13849.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 18339 ÷ 215
    18339 ÷ 32768     		x = 0.559661865234375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 13849 ÷ 215
    13849 ÷ 32768     		y = 0.422637939453125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.559661865234375 × 2 - 1) × π
    0.11932373046875 × 3.1415926535     		Λ = 0.37486656
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.422637939453125 × 2 - 1) × π
    0.15472412109375 × 3.1415926535     		Φ = 0.486080162147369
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.37486656} λ = 0.37486656}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.486080162147369))-π/2
    2×atan(1.62593032905404)-π/2
    2×1.01939677921808-π/2
    2.03879355843617-1.57079632675     		φ = 0.46799723
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.37486656} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 21.478272°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.46799723 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 26.814266°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 18339 KachelY 13849 0.37486656 0.46799723 21.478272 26.814266
    Oben rechts KachelX + 1 18340 KachelY 13849 0.37505830 0.46799723 21.489258 26.814266
    Unten links KachelX 18339 KachelY + 1 13850 0.37486656 0.46782609 21.478272 26.804461
    Unten rechts KachelX + 1 18340 KachelY + 1 13850 0.37505830 0.46782609 21.489258 26.804461
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.46799723-0.46782609) × R
    0.000171139999999959 × 6371000     		dl = 1090.33293999974m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.46799723-0.46782609) × R
    0.000171139999999959 × 6371000     		dr = 1090.33293999974m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.37486656-0.37505830) × cos(0.46799723) × R
    0.000191739999999996 × 0.892473526576049 × 6371000     		do = 1090.22383016282m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.37486656-0.37505830) × cos(0.46782609) × R
    0.000191739999999996 × 0.892550714720881 × 6371000     		du = 1090.31812131252m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.46799723)-sin(0.46782609))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.892473526576049-0.892550714720881)×R²
    abs(0.37505830-0.37486656)×7.71881448312639e-05×R²
    0.000191739999999996×7.71881448312639e-05×6371000²
    0.000191739999999996×7.71881448312639e-05×40589641000000     		ar = 1188758.36127426m²