Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 18337 / 19103
↖ ↑ ↗
← S 28.603814°
E 21.456299°		 ← 1 072.54 m → S 28.603814°
E 21.467285°		 →
↑
1 072.49 m
↓
↑
1 072.49 m
↓
S 28.613460°
E 21.456299°		 ← 1 072.44 m →
1 150 240 m²		 S 28.613460°
E 21.467285°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 18337 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 19103 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.559616088867188 y=0.582992553710938 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.559616088867188 × 215)
    floor (0.559616088867188 × 32768)
    floor (18337.5)     		tx = 18337
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.582992553710938 × 215)
    floor (0.582992553710938 × 32768)
    floor (19103.5)     		ty = 19103
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 18337 / 19103 ti = "15/18337/19103"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/18337/19103.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 18337 ÷ 215
    18337 ÷ 32768     		x = 0.559600830078125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 19103 ÷ 215
    19103 ÷ 32768     		y = 0.582977294921875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.559600830078125 × 2 - 1) × π
    0.11920166015625 × 3.1415926535     		Λ = 0.37448306
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.582977294921875 × 2 - 1) × π
    -0.16595458984375 × 3.1415926535     		Φ = -0.521361720267731
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.37448306} λ = 0.37448306}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.521361720267731))-π/2
    2×atan(0.593711528244732)-π/2
    2×0.535782793380878-π/2
    1.07156558676176-1.57079632675     		φ = -0.49923074
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.37448306} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 21.456299°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.49923074 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -28.603814°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 18337 KachelY 19103 0.37448306 -0.49923074 21.456299 -28.603814
    Oben rechts KachelX + 1 18338 KachelY 19103 0.37467481 -0.49923074 21.467285 -28.603814
    Unten links KachelX 18337 KachelY + 1 19104 0.37448306 -0.49939908 21.456299 -28.613460
    Unten rechts KachelX + 1 18338 KachelY + 1 19104 0.37467481 -0.49939908 21.467285 -28.613460
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.49923074--0.49939908) × R
    0.000168339999999989 × 6371000     		dl = 1072.49413999993m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.49923074--0.49939908) × R
    0.000168339999999989 × 6371000     		dr = 1072.49413999993m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.37448306-0.37467481) × cos(-0.49923074) × R
    0.000191750000000046 × 0.877951105084294 × 6371000     		do = 1072.53952955211m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.37448306-0.37467481) × cos(-0.49939908) × R
    0.000191750000000046 × 0.877870499818039 × 6371000     		du = 1072.44105899509m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.49923074)-sin(-0.49939908))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.877951105084294-0.877870499818039)×R²
    abs(0.37467481-0.37448306)×8.0605266255529e-05×R²
    0.000191750000000046×8.0605266255529e-05×6371000²
    0.000191750000000046×8.0605266255529e-05×40589641000000     		ar = 1150239.5585316m²