Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 18336 / 51422
↖ ↑ ↗
← S 71.013386°
W 79.277344°		 ← 198.72 m → S 71.013386°
W 79.271851°		 →
↑
198.71 m
↓
↑
198.71 m
↓
S 71.015173°
W 79.277344°		 ← 198.70 m →
39 486 m²		 S 71.015173°
W 79.271851°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 18336 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 51422 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.279792785644531 y=0.784645080566406 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.279792785644531 × 216)
    floor (0.279792785644531 × 65536)
    floor (18336.5)     		tx = 18336
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.784645080566406 × 216)
    floor (0.784645080566406 × 65536)
    floor (51422.5)     		ty = 51422
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 18336 / 51422 ti = "16/18336/51422"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/18336/51422.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 18336 ÷ 216
    18336 ÷ 65536     		x = 0.27978515625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 51422 ÷ 216
    51422 ÷ 65536     		y = 0.784637451171875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.27978515625 × 2 - 1) × π
    -0.4404296875 × 3.1415926535     		Λ = -1.38365067
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.784637451171875 × 2 - 1) × π
    -0.56927490234375 × 3.1415926535     		Φ = -1.78842985102505
    Länge (λ) Λ (unverändert) -1.38365067} λ = -1.38365067}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.78842985102505))-π/2
    2×atan(0.167222527923173)-π/2
    2×0.165689466594652-π/2
    0.331378933189305-1.57079632675     		φ = -1.23941739
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -1.38365067} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -79.277344°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.23941739 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -71.013386°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 18336 KachelY 51422 -1.38365067 -1.23941739 -79.277344 -71.013386
    Oben rechts KachelX + 1 18337 KachelY 51422 -1.38355480 -1.23941739 -79.271851 -71.013386
    Unten links KachelX 18336 KachelY + 1 51423 -1.38365067 -1.23944858 -79.277344 -71.015173
    Unten rechts KachelX + 1 18337 KachelY + 1 51423 -1.38355480 -1.23944858 -79.271851 -71.015173
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.23941739--1.23944858) × R
    3.11899999998477e-05 × 6371000     		dl = 198.71148999903m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.23941739--1.23944858) × R
    3.11899999998477e-05 × 6371000     		dr = 198.71148999903m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-1.38365067--1.38355480) × cos(-1.23941739) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.325347252500006 × 6371000     		do = 198.718122830101m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-1.38365067--1.38355480) × cos(-1.23944858) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.325317759245893 × 6371000     		du = 198.700108711192m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.23941739)-sin(-1.23944858))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.325347252500006-0.325317759245893)×R²
    abs(-1.38355480--1.38365067)×2.9493254113222e-05×R²
    9.58699999999979e-05×2.9493254113222e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×2.9493254113222e-05×40589641000000     		ar = 39485.78447459m²