Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
15 / 18336 / 19104
↖ ↑ ↗
← S 28.613460°
E 21.445312°		 ← 1 072.44 m → S 28.613460°
E 21.456299°		 →
↑
1 072.37 m
↓
↑
1 072.37 m
↓
S 28.623104°
E 21.445312°		 ← 1 072.34 m →
1 149 997 m²		 S 28.623104°
E 21.456299°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 18336 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 19104 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.559585571289062 y=0.583023071289062 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.559585571289062 × 215)
    floor (0.559585571289062 × 32768)
    floor (18336.5)     		tx = 18336
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.583023071289062 × 215)
    floor (0.583023071289062 × 32768)
    floor (19104.5)     		ty = 19104
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 18336 / 19104 ti = "15/18336/19104"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/18336/19104.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 18336 ÷ 215
    18336 ÷ 32768     		x = 0.5595703125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 19104 ÷ 215
    19104 ÷ 32768     		y = 0.5830078125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.5595703125 × 2 - 1) × π
    0.119140625 × 3.1415926535     		Λ = 0.37429131
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.5830078125 × 2 - 1) × π
    -0.166015625 × 3.1415926535     		Φ = -0.521553467866211
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.37429131} λ = 0.37429131}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.521553467866211))-π/2
    2×atan(0.593597696398841)-π/2
    2×0.535698624736653-π/2
    1.07139724947331-1.57079632675     		φ = -0.49939908
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.37429131} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 21.445312°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.49939908 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -28.613460°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 18336 KachelY 19104 0.37429131 -0.49939908 21.445312 -28.613460
    Oben rechts KachelX + 1 18337 KachelY 19104 0.37448306 -0.49939908 21.456299 -28.613460
    Unten links KachelX 18336 KachelY + 1 19105 0.37429131 -0.49956740 21.445312 -28.623104
    Unten rechts KachelX + 1 18337 KachelY + 1 19105 0.37448306 -0.49956740 21.456299 -28.623104
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.49939908--0.49956740) × R
    0.00016832 × 6371000     		dl = 1072.36672m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.49939908--0.49956740) × R
    0.00016832 × 6371000     		dr = 1072.36672m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.37429131-0.37448306) × cos(-0.49939908) × R
    0.000191749999999991 × 0.877870499818039 × 6371000     		do = 1072.44105899478m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.37429131-0.37448306) × cos(-0.49956740) × R
    0.000191749999999991 × 0.877789879255294 × 6371000     		du = 1072.34256975097m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.49939908)-sin(-0.49956740))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.877870499818039-0.877789879255294)×R²
    abs(0.37448306-0.37429131)×8.06205627446044e-05×R²
    0.000191749999999991×8.06205627446044e-05×6371000²
    0.000191749999999991×8.06205627446044e-05×40589641000000     		ar = 1149997.29524883m²