Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 18335 / 51423
↖ ↑ ↗
← S 71.015173°
W 79.282837°		 ← 198.70 m → S 71.015173°
W 79.277344°		 →
↑
198.71 m
↓
↑
198.71 m
↓
S 71.016960°
W 79.282837°		 ← 198.68 m →
39 482 m²		 S 71.016960°
W 79.277344°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 18335 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 51423 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.279777526855469 y=0.784660339355469 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.279777526855469 × 216)
    floor (0.279777526855469 × 65536)
    floor (18335.5)     		tx = 18335
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.784660339355469 × 216)
    floor (0.784660339355469 × 65536)
    floor (51423.5)     		ty = 51423
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 18335 / 51423 ti = "16/18335/51423"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/18335/51423.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 18335 ÷ 216
    18335 ÷ 65536     		x = 0.279769897460938
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 51423 ÷ 216
    51423 ÷ 65536     		y = 0.784652709960938
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.279769897460938 × 2 - 1) × π
    -0.440460205078125 × 3.1415926535     		Λ = -1.38374654
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.784652709960938 × 2 - 1) × π
    -0.569305419921875 × 3.1415926535     		Φ = -1.7885257248243
    Länge (λ) Λ (unverändert) -1.38374654} λ = -1.38374654}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.7885257248243))-π/2
    2×atan(0.167206496432614)-π/2
    2×0.165673871163167-π/2
    0.331347742326335-1.57079632675     		φ = -1.23944858
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -1.38374654} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -79.282837°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.23944858 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -71.015173°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 18335 KachelY 51423 -1.38374654 -1.23944858 -79.282837 -71.015173
    Oben rechts KachelX + 1 18336 KachelY 51423 -1.38365067 -1.23944858 -79.277344 -71.015173
    Unten links KachelX 18335 KachelY + 1 51424 -1.38374654 -1.23947977 -79.282837 -71.016960
    Unten rechts KachelX + 1 18336 KachelY + 1 51424 -1.38365067 -1.23947977 -79.277344 -71.016960
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.23944858--1.23947977) × R
    3.11900000000698e-05 × 6371000     		dl = 198.711490000445m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.23944858--1.23947977) × R
    3.11900000000698e-05 × 6371000     		dr = 198.711490000445m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-1.38374654--1.38365067) × cos(-1.23944858) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.325317759245893 × 6371000     		do = 198.700108711192m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-1.38374654--1.38365067) × cos(-1.23947977) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.325288265675305 × 6371000     		du = 198.682094398983m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.23944858)-sin(-1.23947977))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.325317759245893-0.325288265675305)×R²
    abs(-1.38365067--1.38374654)×2.94935705877353e-05×R²
    9.58699999999979e-05×2.94935705877353e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×2.94935705877353e-05×40589641000000     		ar = 39482.2048427037m²