Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
16 / 18335 / 14363
↖ ↑ ↗
← N 70.563320°
W 79.282837°		 ← 203.25 m → N 70.563320°
W 79.277344°		 →
↑
203.30 m
↓
↑
203.30 m
↓
N 70.561492°
W 79.282837°		 ← 203.27 m →
41 322 m²		 N 70.561492°
W 79.277344°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 18335 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 14363 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.279777526855469 y=0.219169616699219 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.279777526855469 × 216)
    floor (0.279777526855469 × 65536)
    floor (18335.5)     		tx = 18335
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.219169616699219 × 216)
    floor (0.219169616699219 × 65536)
    floor (14363.5)     		ty = 14363
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 18335 / 14363 ti = "16/18335/14363"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/18335/14363.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 18335 ÷ 216
    18335 ÷ 65536     		x = 0.279769897460938
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 14363 ÷ 216
    14363 ÷ 65536     		y = 0.219161987304688
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.279769897460938 × 2 - 1) × π
    -0.440460205078125 × 3.1415926535     		Λ = -1.38374654
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.219161987304688 × 2 - 1) × π
    0.561676025390625 × 3.1415926535     		Φ = 1.76455727501427
    Länge (λ) Λ (unverändert) -1.38374654} λ = -1.38374654}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.76455727501427))-π/2
    2×atan(5.83898672045253)-π/2
    2×1.40117929826836-π/2
    2.80235859653673-1.57079632675     		φ = 1.23156227
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -1.38374654} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -79.282837°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.23156227 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 70.563320°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 18335 KachelY 14363 -1.38374654 1.23156227 -79.282837 70.563320
    Oben rechts KachelX + 1 18336 KachelY 14363 -1.38365067 1.23156227 -79.277344 70.563320
    Unten links KachelX 18335 KachelY + 1 14364 -1.38374654 1.23153036 -79.282837 70.561492
    Unten rechts KachelX + 1 18336 KachelY + 1 14364 -1.38365067 1.23153036 -79.277344 70.561492
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.23156227-1.23153036) × R
    3.19099999999128e-05 × 6371000     		dl = 203.298609999445m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.23156227-1.23153036) × R
    3.19099999999128e-05 × 6371000     		dr = 203.298609999445m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-1.38374654--1.38365067) × cos(1.23156227) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.332764897858015 × 6371000     		do = 203.24872989697m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-1.38374654--1.38365067) × cos(1.23153036) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.332794989131984 × 6371000     		du = 203.267109279094m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.23156227)-sin(1.23153036))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.332764897858015-0.332794989131984)×R²
    abs(-1.38365067--1.38374654)×3.00912739685244e-05×R²
    9.58699999999979e-05×3.00912739685244e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×3.00912739685244e-05×40589641000000     		ar = 41322.0525271969m²