Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 18334 / 15330
↖ ↑ ↗
← N 11.501557°
E 21.423340°		 ← 1 197.05 m → N 11.501557°
E 21.434326°		 →
↑
1 197.11 m
↓
↑
1 197.11 m
↓
N 11.490791°
E 21.423340°		 ← 1 197.09 m →
1 433 024 m²		 N 11.490791°
E 21.434326°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 18334 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 15330 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.559524536132812 y=0.467849731445312 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.559524536132812 × 215)
    floor (0.559524536132812 × 32768)
    floor (18334.5)     		tx = 18334
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.467849731445312 × 215)
    floor (0.467849731445312 × 32768)
    floor (15330.5)     		ty = 15330
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 18334 / 15330 ti = "15/18334/15330"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/18334/15330.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 18334 ÷ 215
    18334 ÷ 32768     		x = 0.55950927734375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 15330 ÷ 215
    15330 ÷ 32768     		y = 0.46783447265625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.55950927734375 × 2 - 1) × π
    0.1190185546875 × 3.1415926535     		Λ = 0.37390782
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.46783447265625 × 2 - 1) × π
    0.0643310546875 × 3.1415926535     		Φ = 0.202101968798157
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.37390782} λ = 0.37390782}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.202101968798157))-π/2
    2×atan(1.22397280878465)-π/2
    2×0.885768181907992-π/2
    1.77153636381598-1.57079632675     		φ = 0.20074004
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.37390782} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 21.423340°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.20074004 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 11.501557°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 18334 KachelY 15330 0.37390782 0.20074004 21.423340 11.501557
    Oben rechts KachelX + 1 18335 KachelY 15330 0.37409956 0.20074004 21.434326 11.501557
    Unten links KachelX 18334 KachelY + 1 15331 0.37390782 0.20055214 21.423340 11.490791
    Unten rechts KachelX + 1 18335 KachelY + 1 15331 0.37409956 0.20055214 21.434326 11.490791
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.20074004-0.20055214) × R
    0.000187900000000019 × 6371000     		dl = 1197.11090000012m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.20074004-0.20055214) × R
    0.000187900000000019 × 6371000     		dr = 1197.11090000012m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.37390782-0.37409956) × cos(0.20074004) × R
    0.000191739999999996 × 0.979919286231872 × 6371000     		do = 1197.04543123509m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.37390782-0.37409956) × cos(0.20055214) × R
    0.000191739999999996 × 0.979956735171661 × 6371000     		du = 1197.09117794393m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.20074004)-sin(0.20055214))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.979919286231872-0.979956735171661)×R²
    abs(0.37409956-0.37390782)×3.74489397889644e-05×R²
    0.000191739999999996×3.74489397889644e-05×6371000²
    0.000191739999999996×3.74489397889644e-05×40589641000000     		ar = 1433023.51968486m²