Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 18334 / 14365
↖ ↑ ↗
← N 70.559664°
W 79.288330°		 ← 203.31 m → N 70.559664°
W 79.282837°		 →
↑
203.30 m
↓
↑
203.30 m
↓
N 70.557836°
W 79.288330°		 ← 203.33 m →
41 334 m²		 N 70.557836°
W 79.282837°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 18334 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 14365 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.279762268066406 y=0.219200134277344 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.279762268066406 × 216)
    floor (0.279762268066406 × 65536)
    floor (18334.5)     		tx = 18334
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.219200134277344 × 216)
    floor (0.219200134277344 × 65536)
    floor (14365.5)     		ty = 14365
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 18334 / 14365 ti = "16/18334/14365"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/18334/14365.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 18334 ÷ 216
    18334 ÷ 65536     		x = 0.279754638671875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 14365 ÷ 216
    14365 ÷ 65536     		y = 0.219192504882812
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.279754638671875 × 2 - 1) × π
    -0.44049072265625 × 3.1415926535     		Λ = -1.38384242
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.219192504882812 × 2 - 1) × π
    0.561614990234375 × 3.1415926535     		Φ = 1.76436552741579
    Länge (λ) Λ (unverändert) -1.38384242} λ = -1.38384242}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.76436552741579))-π/2
    2×atan(5.83786721610589)-π/2
    2×1.40114739194879-π/2
    2.80229478389758-1.57079632675     		φ = 1.23149846
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -1.38384242} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -79.288330°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.23149846 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 70.559664°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 18334 KachelY 14365 -1.38384242 1.23149846 -79.288330 70.559664
    Oben rechts KachelX + 1 18335 KachelY 14365 -1.38374654 1.23149846 -79.282837 70.559664
    Unten links KachelX 18334 KachelY + 1 14366 -1.38384242 1.23146655 -79.288330 70.557836
    Unten rechts KachelX + 1 18335 KachelY + 1 14366 -1.38374654 1.23146655 -79.282837 70.557836
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.23149846-1.23146655) × R
    3.19100000001349e-05 × 6371000     		dl = 203.298610000859m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.23149846-1.23146655) × R
    3.19100000001349e-05 × 6371000     		dr = 203.298610000859m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-1.38384242--1.38374654) × cos(1.23149846) × R
    9.58799999999371e-05 × 0.332825070637199 × 6371000     		do = 203.306686979704m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-1.38384242--1.38374654) × cos(1.23146655) × R
    9.58799999999371e-05 × 0.332855161233507 × 6371000     		du = 203.325067864993m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.23149846)-sin(1.23146655))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.332825070637199-0.332855161233507)×R²
    abs(-1.38374654--1.38384242)×3.00905963085962e-05×R²
    9.58799999999371e-05×3.00905963085962e-05×6371000²
    9.58799999999371e-05×3.00905963085962e-05×40589641000000     		ar = 41333.8352745889m²