Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 18333 / 51213
↖ ↑ ↗
← S 70.636305°
W 79.293823°		 ← 202.51 m → S 70.636305°
W 79.288330°		 →
↑
202.53 m
↓
↑
202.53 m
↓
S 70.638127°
W 79.293823°		 ← 202.50 m →
41 014 m²		 S 70.638127°
W 79.288330°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 18333 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 51213 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.279747009277344 y=0.781455993652344 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.279747009277344 × 216)
    floor (0.279747009277344 × 65536)
    floor (18333.5)     		tx = 18333
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.781455993652344 × 216)
    floor (0.781455993652344 × 65536)
    floor (51213.5)     		ty = 51213
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 18333 / 51213 ti = "16/18333/51213"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/18333/51213.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 18333 ÷ 216
    18333 ÷ 65536     		x = 0.279739379882812
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 51213 ÷ 216
    51213 ÷ 65536     		y = 0.781448364257812
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.279739379882812 × 2 - 1) × π
    -0.440521240234375 × 3.1415926535     		Λ = -1.38393829
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.781448364257812 × 2 - 1) × π
    -0.562896728515625 × 3.1415926535     		Φ = -1.76839222698387
    Länge (λ) Λ (unverändert) -1.38393829} λ = -1.38393829}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.76839222698387))-π/2
    2×atan(0.170607065876404)-π/2
    2×0.168980112363672-π/2
    0.337960224727344-1.57079632675     		φ = -1.23283610
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -1.38393829} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -79.293823°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.23283610 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -70.636305°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 18333 KachelY 51213 -1.38393829 -1.23283610 -79.293823 -70.636305
    Oben rechts KachelX + 1 18334 KachelY 51213 -1.38384242 -1.23283610 -79.288330 -70.636305
    Unten links KachelX 18333 KachelY + 1 51214 -1.38393829 -1.23286789 -79.293823 -70.638127
    Unten rechts KachelX + 1 18334 KachelY + 1 51214 -1.38384242 -1.23286789 -79.288330 -70.638127
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.23283610--1.23286789) × R
    3.1789999999976e-05 × 6371000     		dl = 202.534089999847m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.23283610--1.23286789) × R
    3.1789999999976e-05 × 6371000     		dr = 202.534089999847m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-1.38393829--1.38384242) × cos(-1.23283610) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.331563394003166 × 6371000     		do = 202.51486603682m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-1.38393829--1.38384242) × cos(-1.23286789) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.33153340210241 × 6371000     		du = 202.49654735064m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.23283610)-sin(-1.23286789))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.331563394003166-0.33153340210241)×R²
    abs(-1.38384242--1.38393829)×2.99919007558658e-05×R²
    9.58699999999979e-05×2.99919007558658e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×2.99919007558658e-05×40589641000000     		ar = 41014.3090286317m²