Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
16 / 18332 / 51857
↖ ↑ ↗
← S 71.775659°
W 79.299317°		 ← 191.04 m → S 71.775659°
W 79.293823°		 →
↑
191.07 m
↓
↑
191.07 m
↓
S 71.777377°
W 79.299317°		 ← 191.02 m →
36 499 m²		 S 71.777377°
W 79.293823°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 18332 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 51857 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.279731750488281 y=0.791282653808594 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.279731750488281 × 216)
    floor (0.279731750488281 × 65536)
    floor (18332.5)     		tx = 18332
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.791282653808594 × 216)
    floor (0.791282653808594 × 65536)
    floor (51857.5)     		ty = 51857
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 18332 / 51857 ti = "16/18332/51857"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/18332/51857.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 18332 ÷ 216
    18332 ÷ 65536     		x = 0.27972412109375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 51857 ÷ 216
    51857 ÷ 65536     		y = 0.791275024414062
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.27972412109375 × 2 - 1) × π
    -0.4405517578125 × 3.1415926535     		Λ = -1.38403417
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.791275024414062 × 2 - 1) × π
    -0.582550048828125 × 3.1415926535     		Φ = -1.8301349536945
    Länge (λ) Λ (unverändert) -1.38403417} λ = -1.38403417}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.8301349536945))-π/2
    2×atan(0.160391920832253)-π/2
    2×0.159037376901479-π/2
    0.318074753802958-1.57079632675     		φ = -1.25272157
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -1.38403417} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -79.299317°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.25272157 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -71.775659°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 18332 KachelY 51857 -1.38403417 -1.25272157 -79.299317 -71.775659
    Oben rechts KachelX + 1 18333 KachelY 51857 -1.38393829 -1.25272157 -79.293823 -71.775659
    Unten links KachelX 18332 KachelY + 1 51858 -1.38403417 -1.25275156 -79.299317 -71.777377
    Unten rechts KachelX + 1 18333 KachelY + 1 51858 -1.38393829 -1.25275156 -79.293823 -71.777377
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.25272157--1.25275156) × R
    2.99900000000353e-05 × 6371000     		dl = 191.066290000225m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.25272157--1.25275156) × R
    2.99900000000353e-05 × 6371000     		dr = 191.066290000225m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-1.38403417--1.38393829) × cos(-1.25272157) × R
    9.58800000001592e-05 × 0.312738469726418 × 6371000     		do = 191.036757085635m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-1.38403417--1.38393829) × cos(-1.25275156) × R
    9.58800000001592e-05 × 0.312709983905907 × 6371000     		du = 191.019356480017m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.25272157)-sin(-1.25275156))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.312738469726418-0.312709983905907)×R²
    abs(-1.38393829--1.38403417)×2.8485820510793e-05×R²
    9.58800000001592e-05×2.8485820510793e-05×6371000²
    9.58800000001592e-05×2.8485820510793e-05×40589641000000     		ar = 36499.0220982933m²