Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 18332 / 19100
↖ ↑ ↗
← S 28.574874°
E 21.401367°		 ← 1 072.83 m → S 28.574874°
E 21.412354°		 →
↑
1 072.75 m
↓
↑
1 072.75 m
↓
S 28.584522°
E 21.401367°		 ← 1 072.74 m →
1 150 830 m²		 S 28.584522°
E 21.412354°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 18332 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 19100 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.559463500976562 y=0.582901000976562 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.559463500976562 × 215)
    floor (0.559463500976562 × 32768)
    floor (18332.5)     		tx = 18332
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.582901000976562 × 215)
    floor (0.582901000976562 × 32768)
    floor (19100.5)     		ty = 19100
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 18332 / 19100 ti = "15/18332/19100"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/18332/19100.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 18332 ÷ 215
    18332 ÷ 32768     		x = 0.5594482421875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 19100 ÷ 215
    19100 ÷ 32768     		y = 0.5828857421875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.5594482421875 × 2 - 1) × π
    0.118896484375 × 3.1415926535     		Λ = 0.37352432
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.5828857421875 × 2 - 1) × π
    -0.165771484375 × 3.1415926535     		Φ = -0.52078647747229
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.37352432} λ = 0.37352432}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.52078647747229))-π/2
    2×atan(0.594053154773604)-π/2
    2×0.53603534566867-π/2
    1.07207069133734-1.57079632675     		φ = -0.49872564
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.37352432} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 21.401367°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.49872564 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -28.574874°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 18332 KachelY 19100 0.37352432 -0.49872564 21.401367 -28.574874
    Oben rechts KachelX + 1 18333 KachelY 19100 0.37371607 -0.49872564 21.412354 -28.574874
    Unten links KachelX 18332 KachelY + 1 19101 0.37352432 -0.49889402 21.401367 -28.584522
    Unten rechts KachelX + 1 18333 KachelY + 1 19101 0.37371607 -0.49889402 21.412354 -28.584522
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.49872564--0.49889402) × R
    0.000168379999999968 × 6371000     		dl = 1072.7489799998m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.49872564--0.49889402) × R
    0.000168379999999968 × 6371000     		dr = 1072.7489799998m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.37352432-0.37371607) × cos(-0.49872564) × R
    0.000191749999999991 × 0.87819280986033 × 6371000     		do = 1072.83480559311m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.37352432-0.37371607) × cos(-0.49889402) × R
    0.000191749999999991 × 0.878112260113637 × 6371000     		du = 1072.73640286098m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.49872564)-sin(-0.49889402))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.87819280986033-0.878112260113637)×R²
    abs(0.37371607-0.37352432)×8.05497466933591e-05×R²
    0.000191749999999991×8.05497466933591e-05×6371000²
    0.000191749999999991×8.05497466933591e-05×40589641000000     		ar = 1150829.66541198m²