Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 18330 / 51854
↖ ↑ ↗
← S 71.770505°
W 79.310303°		 ← 191.07 m → S 71.770505°
W 79.304810°		 →
↑
191.07 m
↓
↑
191.07 m
↓
S 71.772223°
W 79.310303°		 ← 191.05 m →
36 505 m²		 S 71.772223°
W 79.304810°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 18330 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 51854 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.279701232910156 y=0.791236877441406 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.279701232910156 × 216)
    floor (0.279701232910156 × 65536)
    floor (18330.5)     		tx = 18330
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.791236877441406 × 216)
    floor (0.791236877441406 × 65536)
    floor (51854.5)     		ty = 51854
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 18330 / 51854 ti = "16/18330/51854"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/18330/51854.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 18330 ÷ 216
    18330 ÷ 65536     		x = 0.279693603515625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 51854 ÷ 216
    51854 ÷ 65536     		y = 0.791229248046875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.279693603515625 × 2 - 1) × π
    -0.44061279296875 × 3.1415926535     		Λ = -1.38422591
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.791229248046875 × 2 - 1) × π
    -0.58245849609375 × 3.1415926535     		Φ = -1.82984733229678
    Länge (λ) Λ (unverändert) -1.38422591} λ = -1.38422591}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.82984733229678))-π/2
    2×atan(0.160438059615639)-π/2
    2×0.159082358182932-π/2
    0.318164716365864-1.57079632675     		φ = -1.25263161
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -1.38422591} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -79.310303°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.25263161 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -71.770505°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 18330 KachelY 51854 -1.38422591 -1.25263161 -79.310303 -71.770505
    Oben rechts KachelX + 1 18331 KachelY 51854 -1.38413004 -1.25263161 -79.304810 -71.770505
    Unten links KachelX 18330 KachelY + 1 51855 -1.38422591 -1.25266160 -79.310303 -71.772223
    Unten rechts KachelX + 1 18331 KachelY + 1 51855 -1.38413004 -1.25266160 -79.304810 -71.772223
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.25263161--1.25266160) × R
    2.99900000000353e-05 × 6371000     		dl = 191.066290000225m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.25263161--1.25266160) × R
    2.99900000000353e-05 × 6371000     		dr = 191.066290000225m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-1.38422591--1.38413004) × cos(-1.25263161) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.312823916002074 × 6371000     		do = 191.06902205757m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-1.38422591--1.38413004) × cos(-1.25266160) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.312795431025378 × 6371000     		du = 191.051623782175m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.25263161)-sin(-1.25266160))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.312823916002074-0.312795431025378)×R²
    abs(-1.38413004--1.38422591)×2.84849766966633e-05×R²
    9.58699999999979e-05×2.84849766966633e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×2.84849766966633e-05×40589641000000     		ar = 36505.1870691474m²