Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 18329 / 19085
↖ ↑ ↗
← S 28.430053°
E 21.368408°		 ← 1 074.31 m → S 28.430053°
E 21.379395°		 →
↑
1 074.21 m
↓
↑
1 074.21 m
↓
S 28.439714°
E 21.368408°		 ← 1 074.21 m →
1 153 985 m²		 S 28.439714°
E 21.379395°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 18329 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 19085 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.559371948242188 y=0.582443237304688 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.559371948242188 × 215)
    floor (0.559371948242188 × 32768)
    floor (18329.5)     		tx = 18329
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.582443237304688 × 215)
    floor (0.582443237304688 × 32768)
    floor (19085.5)     		ty = 19085
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 18329 / 19085 ti = "15/18329/19085"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/18329/19085.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 18329 ÷ 215
    18329 ÷ 32768     		x = 0.559356689453125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 19085 ÷ 215
    19085 ÷ 32768     		y = 0.582427978515625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.559356689453125 × 2 - 1) × π
    0.11871337890625 × 3.1415926535     		Λ = 0.37294908
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.582427978515625 × 2 - 1) × π
    -0.16485595703125 × 3.1415926535     		Φ = -0.517910263495087
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.37294908} λ = 0.37294908}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.517910263495087))-π/2
    2×atan(0.595764238302153)-π/2
    2×0.53729914866026-π/2
    1.07459829732052-1.57079632675     		φ = -0.49619803
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.37294908} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 21.368408°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.49619803 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -28.430053°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 18329 KachelY 19085 0.37294908 -0.49619803 21.368408 -28.430053
    Oben rechts KachelX + 1 18330 KachelY 19085 0.37314083 -0.49619803 21.379395 -28.430053
    Unten links KachelX 18329 KachelY + 1 19086 0.37294908 -0.49636664 21.368408 -28.439714
    Unten rechts KachelX + 1 18330 KachelY + 1 19086 0.37314083 -0.49636664 21.379395 -28.439714
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.49619803--0.49636664) × R
    0.000168610000000013 × 6371000     		dl = 1074.21431000009m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.49619803--0.49636664) × R
    0.000168610000000013 × 6371000     		dr = 1074.21431000009m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.37294908-0.37314083) × cos(-0.49619803) × R
    0.000191749999999991 × 0.879398976304311 × 6371000     		do = 1074.30830586311m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.37294908-0.37314083) × cos(-0.49636664) × R
    0.000191749999999991 × 0.879318691021593 × 6371000     		du = 1074.21022621055m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.49619803)-sin(-0.49636664))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.879398976304311-0.879318691021593)×R²
    abs(0.37314083-0.37294908)×8.02852827184175e-05×R²
    0.000191749999999991×8.02852827184175e-05×6371000²
    0.000191749999999991×8.02852827184175e-05×40589641000000     		ar = 1153984.67896102m²