Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 18327 / 51209
↖ ↑ ↗
← S 70.629019°
W 79.326782°		 ← 202.59 m → S 70.629019°
W 79.321289°		 →
↑
202.53 m
↓
↑
202.53 m
↓
S 70.630840°
W 79.326782°		 ← 202.57 m →
41 029 m²		 S 70.630840°
W 79.321289°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 18327 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 51209 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.279655456542969 y=0.781394958496094 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.279655456542969 × 216)
    floor (0.279655456542969 × 65536)
    floor (18327.5)     		tx = 18327
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.781394958496094 × 216)
    floor (0.781394958496094 × 65536)
    floor (51209.5)     		ty = 51209
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 18327 / 51209 ti = "16/18327/51209"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/18327/51209.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 18327 ÷ 216
    18327 ÷ 65536     		x = 0.279647827148438
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 51209 ÷ 216
    51209 ÷ 65536     		y = 0.781387329101562
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.279647827148438 × 2 - 1) × π
    -0.440704345703125 × 3.1415926535     		Λ = -1.38451353
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.781387329101562 × 2 - 1) × π
    -0.562774658203125 × 3.1415926535     		Φ = -1.76800873178691
    Länge (λ) Λ (unverändert) -1.38451353} λ = -1.38451353}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.76800873178691))-π/2
    2×atan(0.170672505413807)-π/2
    2×0.169043700350108-π/2
    0.338087400700215-1.57079632675     		φ = -1.23270893
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -1.38451353} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -79.326782°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.23270893 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -70.629019°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 18327 KachelY 51209 -1.38451353 -1.23270893 -79.326782 -70.629019
    Oben rechts KachelX + 1 18328 KachelY 51209 -1.38441766 -1.23270893 -79.321289 -70.629019
    Unten links KachelX 18327 KachelY + 1 51210 -1.38451353 -1.23274072 -79.326782 -70.630840
    Unten rechts KachelX + 1 18328 KachelY + 1 51210 -1.38441766 -1.23274072 -79.321289 -70.630840
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.23270893--1.23274072) × R
    3.1789999999976e-05 × 6371000     		dl = 202.534089999847m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.23270893--1.23274072) × R
    3.1789999999976e-05 × 6371000     		dr = 202.534089999847m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-1.38451353--1.38441766) × cos(-1.23270893) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.331683367689 × 6371000     		do = 202.58814449685m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-1.38451353--1.38441766) × cos(-1.23274072) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.331653377128849 × 6371000     		du = 202.569826629494m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.23270893)-sin(-1.23274072))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.331683367689-0.331653377128849)×R²
    abs(-1.38441766--1.38451353)×2.99905601512385e-05×R²
    9.58699999999979e-05×2.99905601512385e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×2.99905601512385e-05×40589641000000     		ar = 41029.1504973892m²