Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 18325 / 14484
↖ ↑ ↗
← N 70.340927°
W 79.337768°		 ← 205.48 m → N 70.340927°
W 79.332275°		 →
↑
205.46 m
↓
↑
205.46 m
↓
N 70.339079°
W 79.337768°		 ← 205.50 m →
42 221 m²		 N 70.339079°
W 79.332275°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 18325 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 14484 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.279624938964844 y=0.221015930175781 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.279624938964844 × 216)
    floor (0.279624938964844 × 65536)
    floor (18325.5)     		tx = 18325
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.221015930175781 × 216)
    floor (0.221015930175781 × 65536)
    floor (14484.5)     		ty = 14484
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 18325 / 14484 ti = "16/18325/14484"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/18325/14484.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 18325 ÷ 216
    18325 ÷ 65536     		x = 0.279617309570312
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 14484 ÷ 216
    14484 ÷ 65536     		y = 0.22100830078125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.279617309570312 × 2 - 1) × π
    -0.440765380859375 × 3.1415926535     		Λ = -1.38470528
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.22100830078125 × 2 - 1) × π
    0.5579833984375 × 3.1415926535     		Φ = 1.75295654530621
    Länge (λ) Λ (unverändert) -1.38470528} λ = -1.38470528}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.75295654530621))-π/2
    2×atan(5.77164159529336)-π/2
    2×1.39923854912539-π/2
    2.79847709825078-1.57079632675     		φ = 1.22768077
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -1.38470528} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -79.337768°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.22768077 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 70.340927°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 18325 KachelY 14484 -1.38470528 1.22768077 -79.337768 70.340927
    Oben rechts KachelX + 1 18326 KachelY 14484 -1.38460941 1.22768077 -79.332275 70.340927
    Unten links KachelX 18325 KachelY + 1 14485 -1.38470528 1.22764852 -79.337768 70.339079
    Unten rechts KachelX + 1 18326 KachelY + 1 14485 -1.38460941 1.22764852 -79.332275 70.339079
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.22768077-1.22764852) × R
    3.22500000000669e-05 × 6371000     		dl = 205.464750000427m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.22768077-1.22764852) × R
    3.22500000000669e-05 × 6371000     		dr = 205.464750000427m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-1.38470528--1.38460941) × cos(1.22768077) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.336422674565872 × 6371000     		do = 205.48285517552m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-1.38470528--1.38460941) × cos(1.22764852) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.336453044573689 × 6371000     		du = 205.501404804869m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.22768077)-sin(1.22764852))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.336422674565872-0.336453044573689)×R²
    abs(-1.38460941--1.38470528)×3.03700078169711e-05×R²
    9.58699999999979e-05×3.03700078169711e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×3.03700078169711e-05×40589641000000     		ar = 42221.3891193039m²