Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 18321 / 19065
↖ ↑ ↗
← S 28.236649°
E 21.280518°		 ← 1 076.27 m → S 28.236649°
E 21.291504°		 →
↑
1 076.19 m
↓
↑
1 076.19 m
↓
S 28.246328°
E 21.280518°		 ← 1 076.17 m →
1 158 213 m²		 S 28.246328°
E 21.291504°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 18321 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 19065 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.559127807617188 y=0.581832885742188 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.559127807617188 × 215)
    floor (0.559127807617188 × 32768)
    floor (18321.5)     		tx = 18321
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.581832885742188 × 215)
    floor (0.581832885742188 × 32768)
    floor (19065.5)     		ty = 19065
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 18321 / 19065 ti = "15/18321/19065"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/18321/19065.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 18321 ÷ 215
    18321 ÷ 32768     		x = 0.559112548828125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 19065 ÷ 215
    19065 ÷ 32768     		y = 0.581817626953125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.559112548828125 × 2 - 1) × π
    0.11822509765625 × 3.1415926535     		Λ = 0.37141510
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.581817626953125 × 2 - 1) × π
    -0.16363525390625 × 3.1415926535     		Φ = -0.514075311525482
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.37141510} λ = 0.37141510}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.514075311525482))-π/2
    2×atan(0.598053352056429)-π/2
    2×0.538986912139181-π/2
    1.07797382427836-1.57079632675     		φ = -0.49282250
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.37141510} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 21.280518°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.49282250 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -28.236649°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 18321 KachelY 19065 0.37141510 -0.49282250 21.280518 -28.236649
    Oben rechts KachelX + 1 18322 KachelY 19065 0.37160685 -0.49282250 21.291504 -28.236649
    Unten links KachelX 18321 KachelY + 1 19066 0.37141510 -0.49299142 21.280518 -28.246328
    Unten rechts KachelX + 1 18322 KachelY + 1 19066 0.37160685 -0.49299142 21.291504 -28.246328
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.49282250--0.49299142) × R
    0.000168920000000017 × 6371000     		dl = 1076.18932000011m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.49282250--0.49299142) × R
    0.000168920000000017 × 6371000     		dr = 1076.18932000011m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.37141510-0.37160685) × cos(-0.49282250) × R
    0.000191749999999991 × 0.881001004251681 × 6371000     		do = 1076.26540608322m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.37141510-0.37160685) × cos(-0.49299142) × R
    0.000191749999999991 × 0.880921073199276 × 6371000     		du = 1076.16775917231m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.49282250)-sin(-0.49299142))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.881001004251681-0.880921073199276)×R²
    abs(0.37160685-0.37141510)×7.99310524054464e-05×R²
    0.000191749999999991×7.99310524054464e-05×6371000²
    0.000191749999999991×7.99310524054464e-05×40589641000000     		ar = 1158212.79498476m²