Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 18321 / 14477
↖ ↑ ↗
← N 70.353859°
W 79.359741°		 ← 205.37 m → N 70.353859°
W 79.354248°		 →
↑
205.40 m
↓
↑
205.40 m
↓
N 70.352012°
W 79.359741°		 ← 205.39 m →
42 186 m²		 N 70.352012°
W 79.354248°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 18321 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 14477 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.279563903808594 y=0.220909118652344 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.279563903808594 × 216)
    floor (0.279563903808594 × 65536)
    floor (18321.5)     		tx = 18321
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.220909118652344 × 216)
    floor (0.220909118652344 × 65536)
    floor (14477.5)     		ty = 14477
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 18321 / 14477 ti = "16/18321/14477"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/18321/14477.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 18321 ÷ 216
    18321 ÷ 65536     		x = 0.279556274414062
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 14477 ÷ 216
    14477 ÷ 65536     		y = 0.220901489257812
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.279556274414062 × 2 - 1) × π
    -0.440887451171875 × 3.1415926535     		Λ = -1.38508878
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.220901489257812 × 2 - 1) × π
    0.558197021484375 × 3.1415926535     		Φ = 1.75362766190089
    Länge (λ) Λ (unverändert) -1.38508878} λ = -1.38508878}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.75362766190089))-π/2
    2×atan(5.77551633980375)-π/2
    2×1.39935140287841-π/2
    2.79870280575682-1.57079632675     		φ = 1.22790648
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -1.38508878} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -79.359741°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.22790648 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 70.353859°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 18321 KachelY 14477 -1.38508878 1.22790648 -79.359741 70.353859
    Oben rechts KachelX + 1 18322 KachelY 14477 -1.38499290 1.22790648 -79.354248 70.353859
    Unten links KachelX 18321 KachelY + 1 14478 -1.38508878 1.22787424 -79.359741 70.352012
    Unten rechts KachelX + 1 18322 KachelY + 1 14478 -1.38499290 1.22787424 -79.354248 70.352012
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.22790648-1.22787424) × R
    3.22399999999057e-05 × 6371000     		dl = 205.401039999399m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.22790648-1.22787424) × R
    3.22399999999057e-05 × 6371000     		dr = 205.401039999399m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-1.38508878--1.38499290) × cos(1.22790648) × R
    9.58799999999371e-05 × 0.336210112387186 × 6371000     		do = 205.374444742544m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-1.38508878--1.38499290) × cos(1.22787424) × R
    9.58799999999371e-05 × 0.336240475425448 × 6371000     		du = 205.392992049404m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.22790648)-sin(1.22787424))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.336210112387186-0.336240475425448)×R²
    abs(-1.38499290--1.38508878)×3.03630382624265e-05×R²
    9.58799999999371e-05×3.03630382624265e-05×6371000²
    9.58799999999371e-05×3.03630382624265e-05×40589641000000     		ar = 42186.0293609076m²