Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 18320 / 19600
↖ ↑ ↗
← S 33.284620°
E 21.269531°		 ← 1 021.24 m → S 33.284620°
E 21.280518°		 →
↑
1 021.14 m
↓
↑
1 021.14 m
↓
S 33.293803°
E 21.269531°		 ← 1 021.13 m →
1 042 773 m²		 S 33.293803°
E 21.280518°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 18320 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 19600 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.559097290039062 y=0.598159790039062 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.559097290039062 × 215)
    floor (0.559097290039062 × 32768)
    floor (18320.5)     		tx = 18320
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.598159790039062 × 215)
    floor (0.598159790039062 × 32768)
    floor (19600.5)     		ty = 19600
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 18320 / 19600 ti = "15/18320/19600"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/18320/19600.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 18320 ÷ 215
    18320 ÷ 32768     		x = 0.55908203125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 19600 ÷ 215
    19600 ÷ 32768     		y = 0.59814453125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.55908203125 × 2 - 1) × π
    0.1181640625 × 3.1415926535     		Λ = 0.37122335
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.59814453125 × 2 - 1) × π
    -0.1962890625 × 3.1415926535     		Φ = -0.616660276712402
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.37122335} λ = 0.37122335}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.616660276712402))-π/2
    2×atan(0.539744026552238)-π/2
    2×0.494935059038744-π/2
    0.989870118077488-1.57079632675     		φ = -0.58092621
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.37122335} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 21.269531°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.58092621 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -33.284620°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 18320 KachelY 19600 0.37122335 -0.58092621 21.269531 -33.284620
    Oben rechts KachelX + 1 18321 KachelY 19600 0.37141510 -0.58092621 21.280518 -33.284620
    Unten links KachelX 18320 KachelY + 1 19601 0.37122335 -0.58108649 21.269531 -33.293803
    Unten rechts KachelX + 1 18321 KachelY + 1 19601 0.37141510 -0.58108649 21.280518 -33.293803
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.58092621--0.58108649) × R
    0.000160280000000013 × 6371000     		dl = 1021.14388000008m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.58092621--0.58108649) × R
    0.000160280000000013 × 6371000     		dr = 1021.14388000008m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.37122335-0.37141510) × cos(-0.58092621) × R
    0.000191749999999991 × 0.835954705951289 × 6371000     		do = 1021.23508001225m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.37122335-0.37141510) × cos(-0.58108649) × R
    0.000191749999999991 × 0.835866733799729 × 6371000     		du = 1021.127609779m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.58092621)-sin(-0.58108649))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.835954705951289-0.835866733799729)×R²
    abs(0.37141510-0.37122335)×8.79721515607557e-05×R²
    0.000191749999999991×8.79721515607557e-05×6371000²
    0.000191749999999991×8.79721515607557e-05×40589641000000     		ar = 1042773.08294273m²