Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 18320 / 19075
↖ ↑ ↗
← S 28.333395°
E 21.269531°		 ← 1 075.29 m → S 28.333395°
E 21.280518°		 →
↑
1 075.23 m
↓
↑
1 075.23 m
↓
S 28.343065°
E 21.269531°		 ← 1 075.19 m →
1 156 133 m²		 S 28.343065°
E 21.280518°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 18320 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 19075 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.559097290039062 y=0.582138061523438 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.559097290039062 × 215)
    floor (0.559097290039062 × 32768)
    floor (18320.5)     		tx = 18320
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.582138061523438 × 215)
    floor (0.582138061523438 × 32768)
    floor (19075.5)     		ty = 19075
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 18320 / 19075 ti = "15/18320/19075"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/18320/19075.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 18320 ÷ 215
    18320 ÷ 32768     		x = 0.55908203125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 19075 ÷ 215
    19075 ÷ 32768     		y = 0.582122802734375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.55908203125 × 2 - 1) × π
    0.1181640625 × 3.1415926535     		Λ = 0.37122335
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.582122802734375 × 2 - 1) × π
    -0.16424560546875 × 3.1415926535     		Φ = -0.515992787510284
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.37122335} λ = 0.37122335}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.515992787510284))-π/2
    2×atan(0.596907697849464)-π/2
    2×0.538142646418372-π/2
    1.07628529283674-1.57079632675     		φ = -0.49451103
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.37122335} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 21.269531°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.49451103 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -28.333395°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 18320 KachelY 19075 0.37122335 -0.49451103 21.269531 -28.333395
    Oben rechts KachelX + 1 18321 KachelY 19075 0.37141510 -0.49451103 21.280518 -28.333395
    Unten links KachelX 18320 KachelY + 1 19076 0.37122335 -0.49467980 21.269531 -28.343065
    Unten rechts KachelX + 1 18321 KachelY + 1 19076 0.37141510 -0.49467980 21.280518 -28.343065
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.49451103--0.49467980) × R
    0.000168769999999985 × 6371000     		dl = 1075.2336699999m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.49451103--0.49467980) × R
    0.000168769999999985 × 6371000     		dr = 1075.2336699999m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.37122335-0.37141510) × cos(-0.49451103) × R
    0.000191749999999991 × 0.880200880856882 × 6371000     		do = 1075.28794393929m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.37122335-0.37141510) × cos(-0.49467980) × R
    0.000191749999999991 × 0.880120769857609 × 6371000     		du = 1075.19007719822m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.49451103)-sin(-0.49467980))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.880200880856882-0.880120769857609)×R²
    abs(0.37141510-0.37122335)×8.01109992732973e-05×R²
    0.000191749999999991×8.01109992732973e-05×6371000²
    0.000191749999999991×8.01109992732973e-05×40589641000000     		ar = 1156133.19020534m²