Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 18320 / 14480
↖ ↑ ↗
← N 70.348317°
W 79.365234°		 ← 205.41 m → N 70.348317°
W 79.359741°		 →
↑
205.40 m
↓
↑
205.40 m
↓
N 70.346470°
W 79.365234°		 ← 205.43 m →
42 193 m²		 N 70.346470°
W 79.359741°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 18320 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 14480 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.279548645019531 y=0.220954895019531 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.279548645019531 × 216)
    floor (0.279548645019531 × 65536)
    floor (18320.5)     		tx = 18320
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.220954895019531 × 216)
    floor (0.220954895019531 × 65536)
    floor (14480.5)     		ty = 14480
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 18320 / 14480 ti = "16/18320/14480"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/18320/14480.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 18320 ÷ 216
    18320 ÷ 65536     		x = 0.279541015625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 14480 ÷ 216
    14480 ÷ 65536     		y = 0.220947265625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.279541015625 × 2 - 1) × π
    -0.44091796875 × 3.1415926535     		Λ = -1.38518465
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.220947265625 × 2 - 1) × π
    0.55810546875 × 3.1415926535     		Φ = 1.75334004050317
    Länge (λ) Λ (unverändert) -1.38518465} λ = -1.38518465}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.75334004050317))-π/2
    2×atan(5.77385541659152)-π/2
    2×1.39930304571797-π/2
    2.79860609143593-1.57079632675     		φ = 1.22780976
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -1.38518465} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -79.365234°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.22780976 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 70.348317°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 18320 KachelY 14480 -1.38518465 1.22780976 -79.365234 70.348317
    Oben rechts KachelX + 1 18321 KachelY 14480 -1.38508878 1.22780976 -79.359741 70.348317
    Unten links KachelX 18320 KachelY + 1 14481 -1.38518465 1.22777752 -79.365234 70.346470
    Unten rechts KachelX + 1 18321 KachelY + 1 14481 -1.38508878 1.22777752 -79.359741 70.346470
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.22780976-1.22777752) × R
    3.22399999999057e-05 × 6371000     		dl = 205.401039999399m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.22780976-1.22777752) × R
    3.22399999999057e-05 × 6371000     		dr = 205.401039999399m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-1.38518465--1.38508878) × cos(1.22780976) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.336301200453459 × 6371000     		do = 205.408660273287m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-1.38518465--1.38508878) × cos(1.22777752) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.336331562443144 × 6371000     		du = 205.427205005259m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.22780976)-sin(1.22777752))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.336301200453459-0.336331562443144)×R²
    abs(-1.38508878--1.38518465)×3.03619896849794e-05×R²
    9.58699999999979e-05×3.03619896849794e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×3.03619896849794e-05×40589641000000     		ar = 42193.0570020799m²