Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 18319 / 19061
↖ ↑ ↗
← S 28.197927°
E 21.258545°		 ← 1 076.66 m → S 28.197927°
E 21.269531°		 →
↑
1 076.57 m
↓
↑
1 076.57 m
↓
S 28.207608°
E 21.258545°		 ← 1 076.56 m →
1 159 045 m²		 S 28.207608°
E 21.269531°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 18319 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 19061 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.559066772460938 y=0.581710815429688 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.559066772460938 × 215)
    floor (0.559066772460938 × 32768)
    floor (18319.5)     		tx = 18319
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.581710815429688 × 215)
    floor (0.581710815429688 × 32768)
    floor (19061.5)     		ty = 19061
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 18319 / 19061 ti = "15/18319/19061"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/18319/19061.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 18319 ÷ 215
    18319 ÷ 32768     		x = 0.559051513671875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 19061 ÷ 215
    19061 ÷ 32768     		y = 0.581695556640625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.559051513671875 × 2 - 1) × π
    0.11810302734375 × 3.1415926535     		Λ = 0.37103160
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.581695556640625 × 2 - 1) × π
    -0.16339111328125 × 3.1415926535     		Φ = -0.513308321131561
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.37103160} λ = 0.37103160}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.513308321131561))-π/2
    2×atan(0.598512229187188)-π/2
    2×0.539324833074341-π/2
    1.07864966614868-1.57079632675     		φ = -0.49214666
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.37103160} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 21.258545°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.49214666 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -28.197927°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 18319 KachelY 19061 0.37103160 -0.49214666 21.258545 -28.197927
    Oben rechts KachelX + 1 18320 KachelY 19061 0.37122335 -0.49214666 21.269531 -28.197927
    Unten links KachelX 18319 KachelY + 1 19062 0.37103160 -0.49231564 21.258545 -28.207608
    Unten rechts KachelX + 1 18320 KachelY + 1 19062 0.37122335 -0.49231564 21.269531 -28.207608
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.49214666--0.49231564) × R
    0.000168979999999985 × 6371000     		dl = 1076.57157999991m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.49214666--0.49231564) × R
    0.000168979999999985 × 6371000     		dr = 1076.57157999991m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.37103160-0.37122335) × cos(-0.49214666) × R
    0.000191749999999991 × 0.881320552657007 × 6371000     		do = 1076.65577895744m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.37103160-0.37122335) × cos(-0.49231564) × R
    0.000191749999999991 × 0.881240693835844 × 6371000     		du = 1076.55822028705m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.49214666)-sin(-0.49231564))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.881320552657007-0.881240693835844)×R²
    abs(0.37122335-0.37103160)×7.98588211633477e-05×R²
    0.000191749999999991×7.98588211633477e-05×6371000²
    0.000191749999999991×7.98588211633477e-05×40589641000000     		ar = 1159044.50138012m²