Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 18318 / 19062
↖ ↑ ↗
← S 28.207608°
E 21.247559°		 ← 1 076.50 m → S 28.207608°
E 21.258545°		 →
↑
1 076.51 m
↓
↑
1 076.51 m
↓
S 28.217290°
E 21.247559°		 ← 1 076.40 m →
1 158 810 m²		 S 28.217290°
E 21.258545°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 18318 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 19062 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.559036254882812 y=0.581741333007812 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.559036254882812 × 215)
    floor (0.559036254882812 × 32768)
    floor (18318.5)     		tx = 18318
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.581741333007812 × 215)
    floor (0.581741333007812 × 32768)
    floor (19062.5)     		ty = 19062
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 18318 / 19062 ti = "15/18318/19062"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/18318/19062.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 18318 ÷ 215
    18318 ÷ 32768     		x = 0.55902099609375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 19062 ÷ 215
    19062 ÷ 32768     		y = 0.58172607421875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.55902099609375 × 2 - 1) × π
    0.1180419921875 × 3.1415926535     		Λ = 0.37083986
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.58172607421875 × 2 - 1) × π
    -0.1634521484375 × 3.1415926535     		Φ = -0.513500068730042
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.37083986} λ = 0.37083986}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.513500068730042))-π/2
    2×atan(0.598397476906669)-π/2
    2×0.539240341352757-π/2
    1.07848068270551-1.57079632675     		φ = -0.49231564
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.37083986} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 21.247559°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.49231564 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -28.207608°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 18318 KachelY 19062 0.37083986 -0.49231564 21.247559 -28.207608
    Oben rechts KachelX + 1 18319 KachelY 19062 0.37103160 -0.49231564 21.258545 -28.207608
    Unten links KachelX 18318 KachelY + 1 19063 0.37083986 -0.49248461 21.247559 -28.217290
    Unten rechts KachelX + 1 18319 KachelY + 1 19063 0.37103160 -0.49248461 21.258545 -28.217290
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.49231564--0.49248461) × R
    0.000168969999999991 × 6371000     		dl = 1076.50786999994m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.49231564--0.49248461) × R
    0.000168969999999991 × 6371000     		dr = 1076.50786999994m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.37083986-0.37103160) × cos(-0.49231564) × R
    0.000191739999999996 × 0.881240693835844 × 6371000     		do = 1076.50207644247m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.37083986-0.37103160) × cos(-0.49248461) × R
    0.000191739999999996 × 0.881160814579689 × 6371000     		du = 1076.404497897m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.49231564)-sin(-0.49248461))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.881240693835844-0.881160814579689)×R²
    abs(0.37103160-0.37083986)×7.98792561550465e-05×R²
    0.000191739999999996×7.98792561550465e-05×6371000²
    0.000191739999999996×7.98792561550465e-05×40589641000000     		ar = 1158810.43808253m²