Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 18316 / 19084
↖ ↑ ↗
← S 28.420391°
E 21.225586°		 ← 1 074.41 m → S 28.420391°
E 21.236572°		 →
↑
1 074.34 m
↓
↑
1 074.34 m
↓
S 28.430053°
E 21.225586°		 ← 1 074.31 m →
1 154 227 m²		 S 28.430053°
E 21.236572°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 18316 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 19084 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.558975219726562 y=0.582412719726562 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.558975219726562 × 215)
    floor (0.558975219726562 × 32768)
    floor (18316.5)     		tx = 18316
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.582412719726562 × 215)
    floor (0.582412719726562 × 32768)
    floor (19084.5)     		ty = 19084
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 18316 / 19084 ti = "15/18316/19084"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/18316/19084.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 18316 ÷ 215
    18316 ÷ 32768     		x = 0.5589599609375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 19084 ÷ 215
    19084 ÷ 32768     		y = 0.5823974609375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.5589599609375 × 2 - 1) × π
    0.117919921875 × 3.1415926535     		Λ = 0.37045636
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.5823974609375 × 2 - 1) × π
    -0.164794921875 × 3.1415926535     		Φ = -0.517718515896606
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.37045636} λ = 0.37045636}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.517718515896606))-π/2
    2×atan(0.595878485617082)-π/2
    2×0.537383463829224-π/2
    1.07476692765845-1.57079632675     		φ = -0.49602940
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.37045636} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 21.225586°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.49602940 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -28.420391°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 18316 KachelY 19084 0.37045636 -0.49602940 21.225586 -28.420391
    Oben rechts KachelX + 1 18317 KachelY 19084 0.37064811 -0.49602940 21.236572 -28.420391
    Unten links KachelX 18316 KachelY + 1 19085 0.37045636 -0.49619803 21.225586 -28.430053
    Unten rechts KachelX + 1 18317 KachelY + 1 19085 0.37064811 -0.49619803 21.236572 -28.430053
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.49602940--0.49619803) × R
    0.000168630000000003 × 6371000     		dl = 1074.34173000002m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.49602940--0.49619803) × R
    0.000168630000000003 × 6371000     		dr = 1074.34173000002m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.37045636-0.37064811) × cos(-0.49602940) × R
    0.000191749999999991 × 0.879479246105049 × 6371000     		do = 1074.40636660229m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.37045636-0.37064811) × cos(-0.49619803) × R
    0.000191749999999991 × 0.879398976304311 × 6371000     		du = 1074.30830586311m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.49602940)-sin(-0.49619803))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.879479246105049-0.879398976304311)×R²
    abs(0.37064811-0.37045636)×8.02698007380531e-05×R²
    0.000191749999999991×8.02698007380531e-05×6371000²
    0.000191749999999991×8.02698007380531e-05×40589641000000     		ar = 1154226.92198133m²