Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 18315 / 19067
↖ ↑ ↗
← S 28.256006°
E 21.214599°		 ← 1 076.07 m → S 28.256006°
E 21.225586°		 →
↑
1 076 m
↓
↑
1 076 m
↓
S 28.265682°
E 21.214599°		 ← 1 075.97 m →
1 157 797 m²		 S 28.265682°
E 21.225586°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 18315 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 19067 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.558944702148438 y=0.581893920898438 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.558944702148438 × 215)
    floor (0.558944702148438 × 32768)
    floor (18315.5)     		tx = 18315
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.581893920898438 × 215)
    floor (0.581893920898438 × 32768)
    floor (19067.5)     		ty = 19067
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 18315 / 19067 ti = "15/18315/19067"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/18315/19067.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 18315 ÷ 215
    18315 ÷ 32768     		x = 0.558929443359375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 19067 ÷ 215
    19067 ÷ 32768     		y = 0.581878662109375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.558929443359375 × 2 - 1) × π
    0.11785888671875 × 3.1415926535     		Λ = 0.37026461
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.581878662109375 × 2 - 1) × π
    -0.16375732421875 × 3.1415926535     		Φ = -0.514458806722443
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.37026461} λ = 0.37026461}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.514458806722443))-π/2
    2×atan(0.597824045440192)-π/2
    2×0.538817997639941-π/2
    1.07763599527988-1.57079632675     		φ = -0.49316033
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.37026461} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 21.214599°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.49316033 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -28.256006°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 18315 KachelY 19067 0.37026461 -0.49316033 21.214599 -28.256006
    Oben rechts KachelX + 1 18316 KachelY 19067 0.37045636 -0.49316033 21.225586 -28.256006
    Unten links KachelX 18315 KachelY + 1 19068 0.37026461 -0.49332922 21.214599 -28.265682
    Unten rechts KachelX + 1 18316 KachelY + 1 19068 0.37045636 -0.49332922 21.225586 -28.265682
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.49316033--0.49332922) × R
    0.000168890000000033 × 6371000     		dl = 1075.99819000021m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.49316033--0.49332922) × R
    0.000168890000000033 × 6371000     		dr = 1075.99819000021m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.37026461-0.37045636) × cos(-0.49316033) × R
    0.000191749999999991 × 0.880841121744818 × 6371000     		do = 1076.07008733745m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.37026461-0.37045636) × cos(-0.49332922) × R
    0.000191749999999991 × 0.880761154630661 × 6371000     		du = 1075.97239637208m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.49316033)-sin(-0.49332922))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.880841121744818-0.880761154630661)×R²
    abs(0.37045636-0.37026461)×7.99671141575864e-05×R²
    0.000191749999999991×7.99671141575864e-05×6371000²
    0.000191749999999991×7.99671141575864e-05×40589641000000     		ar = 1157796.91138935m²