Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 18315 / 19059
↖ ↑ ↗
← S 28.178560°
E 21.214599°		 ← 1 076.85 m → S 28.178560°
E 21.225586°		 →
↑
1 076.76 m
↓
↑
1 076.76 m
↓
S 28.188244°
E 21.214599°		 ← 1 076.75 m →
1 159 460 m²		 S 28.188244°
E 21.225586°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 18315 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 19059 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.558944702148438 y=0.581649780273438 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.558944702148438 × 215)
    floor (0.558944702148438 × 32768)
    floor (18315.5)     		tx = 18315
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.581649780273438 × 215)
    floor (0.581649780273438 × 32768)
    floor (19059.5)     		ty = 19059
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 18315 / 19059 ti = "15/18315/19059"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/18315/19059.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 18315 ÷ 215
    18315 ÷ 32768     		x = 0.558929443359375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 19059 ÷ 215
    19059 ÷ 32768     		y = 0.581634521484375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.558929443359375 × 2 - 1) × π
    0.11785888671875 × 3.1415926535     		Λ = 0.37026461
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.581634521484375 × 2 - 1) × π
    -0.16326904296875 × 3.1415926535     		Φ = -0.512924825934601
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.37026461} λ = 0.37026461}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.512924825934601))-π/2
    2×atan(0.598741799769198)-π/2
    2×0.539493839482783-π/2
    1.07898767896557-1.57079632675     		φ = -0.49180865
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.37026461} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 21.214599°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.49180865 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -28.178560°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 18315 KachelY 19059 0.37026461 -0.49180865 21.214599 -28.178560
    Oben rechts KachelX + 1 18316 KachelY 19059 0.37045636 -0.49180865 21.225586 -28.178560
    Unten links KachelX 18315 KachelY + 1 19060 0.37026461 -0.49197766 21.214599 -28.188244
    Unten rechts KachelX + 1 18316 KachelY + 1 19060 0.37045636 -0.49197766 21.225586 -28.188244
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.49180865--0.49197766) × R
    0.000169009999999969 × 6371000     		dl = 1076.76270999981m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.49180865--0.49197766) × R
    0.000169009999999969 × 6371000     		dr = 1076.76270999981m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.37026461-0.37045636) × cos(-0.49180865) × R
    0.000191749999999991 × 0.881480218411786 × 6371000     		do = 1076.85083291036m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.37026461-0.37045636) × cos(-0.49197766) × R
    0.000191749999999991 × 0.88140039576013 × 6371000     		du = 1076.75331842606m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.49180865)-sin(-0.49197766))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.881480218411786-0.88140039576013)×R²
    abs(0.37045636-0.37026461)×7.98226516559586e-05×R²
    0.000191749999999991×7.98226516559586e-05×6371000²
    0.000191749999999991×7.98226516559586e-05×40589641000000     		ar = 1159460.32389017m²