Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 18314 / 19090
↖ ↑ ↗
← S 28.478349°
E 21.203614°		 ← 1 073.76 m → S 28.478349°
E 21.214599°		 →
↑
1 073.77 m
↓
↑
1 073.77 m
↓
S 28.488005°
E 21.203614°		 ← 1 073.66 m →
1 152 919 m²		 S 28.488005°
E 21.214599°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 18314 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 19090 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.558914184570312 y=0.582595825195312 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.558914184570312 × 215)
    floor (0.558914184570312 × 32768)
    floor (18314.5)     		tx = 18314
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.582595825195312 × 215)
    floor (0.582595825195312 × 32768)
    floor (19090.5)     		ty = 19090
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 18314 / 19090 ti = "15/18314/19090"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/18314/19090.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 18314 ÷ 215
    18314 ÷ 32768     		x = 0.55889892578125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 19090 ÷ 215
    19090 ÷ 32768     		y = 0.58258056640625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.55889892578125 × 2 - 1) × π
    0.1177978515625 × 3.1415926535     		Λ = 0.37007287
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.58258056640625 × 2 - 1) × π
    -0.1651611328125 × 3.1415926535     		Φ = -0.518869001487488
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.37007287} λ = 0.37007287}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.518869001487488))-π/2
    2×atan(0.595193330211748)-π/2
    2×0.536877688298808-π/2
    1.07375537659762-1.57079632675     		φ = -0.49704095
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.37007287} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 21.203614°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.49704095 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -28.478349°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 18314 KachelY 19090 0.37007287 -0.49704095 21.203614 -28.478349
    Oben rechts KachelX + 1 18315 KachelY 19090 0.37026461 -0.49704095 21.214599 -28.478349
    Unten links KachelX 18314 KachelY + 1 19091 0.37007287 -0.49720949 21.203614 -28.488005
    Unten rechts KachelX + 1 18315 KachelY + 1 19091 0.37026461 -0.49720949 21.214599 -28.488005
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.49704095--0.49720949) × R
    0.000168539999999995 × 6371000     		dl = 1073.76833999997m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.49704095--0.49720949) × R
    0.000168539999999995 × 6371000     		dr = 1073.76833999997m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.37007287-0.37026461) × cos(-0.49704095) × R
    0.000191739999999996 × 0.878997361916594 × 6371000     		do = 1073.76167704181m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.37007287-0.37026461) × cos(-0.49720949) × R
    0.000191739999999996 × 0.878916985072001 × 6371000     		du = 1073.66349065448m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.49704095)-sin(-0.49720949))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.878997361916594-0.878916985072001)×R²
    abs(0.37026461-0.37007287)×8.03768445925002e-05×R²
    0.000191739999999996×8.03768445925002e-05×6371000²
    0.000191739999999996×8.03768445925002e-05×40589641000000     		ar = 1152918.58152496m²