Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 18314 / 19066
↖ ↑ ↗
← S 28.246328°
E 21.203614°		 ← 1 076.11 m → S 28.246328°
E 21.214599°		 →
↑
1 076.13 m
↓
↑
1 076.13 m
↓
S 28.256006°
E 21.203614°		 ← 1 076.01 m →
1 157 979 m²		 S 28.256006°
E 21.214599°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 18314 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 19066 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.558914184570312 y=0.581863403320312 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.558914184570312 × 215)
    floor (0.558914184570312 × 32768)
    floor (18314.5)     		tx = 18314
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.581863403320312 × 215)
    floor (0.581863403320312 × 32768)
    floor (19066.5)     		ty = 19066
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 18314 / 19066 ti = "15/18314/19066"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/18314/19066.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 18314 ÷ 215
    18314 ÷ 32768     		x = 0.55889892578125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 19066 ÷ 215
    19066 ÷ 32768     		y = 0.58184814453125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.55889892578125 × 2 - 1) × π
    0.1177978515625 × 3.1415926535     		Λ = 0.37007287
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.58184814453125 × 2 - 1) × π
    -0.1636962890625 × 3.1415926535     		Φ = -0.514267059123962
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.37007287} λ = 0.37007287}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.514267059123962))-π/2
    2×atan(0.597938687756062)-π/2
    2×0.538902451057437-π/2
    1.07780490211487-1.57079632675     		φ = -0.49299142
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.37007287} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 21.203614°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.49299142 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -28.246328°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 18314 KachelY 19066 0.37007287 -0.49299142 21.203614 -28.246328
    Oben rechts KachelX + 1 18315 KachelY 19066 0.37026461 -0.49299142 21.214599 -28.246328
    Unten links KachelX 18314 KachelY + 1 19067 0.37007287 -0.49316033 21.203614 -28.256006
    Unten rechts KachelX + 1 18315 KachelY + 1 19067 0.37026461 -0.49316033 21.214599 -28.256006
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.49299142--0.49316033) × R
    0.000168909999999967 × 6371000     		dl = 1076.12560999979m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.49299142--0.49316033) × R
    0.000168909999999967 × 6371000     		dr = 1076.12560999979m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.37007287-0.37026461) × cos(-0.49299142) × R
    0.000191739999999996 × 0.880921073199276 × 6371000     		do = 1076.11163569076m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.37007287-0.37026461) × cos(-0.49316033) × R
    0.000191739999999996 × 0.880841121744818 × 6371000     		du = 1076.01396894961m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.49299142)-sin(-0.49316033))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.880921073199276-0.880841121744818)×R²
    abs(0.37026461-0.37007287)×7.99514544576052e-05×R²
    0.000191739999999996×7.99514544576052e-05×6371000²
    0.000191739999999996×7.99514544576052e-05×40589641000000     		ar = 1157978.74229826m²