Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 18313 / 51495
↖ ↑ ↗
← S 71.143419°
W 79.403687°		 ← 197.43 m → S 71.143419°
W 79.398193°		 →
↑
197.37 m
↓
↑
197.37 m
↓
S 71.145194°
W 79.403687°		 ← 197.41 m →
38 965 m²		 S 71.145194°
W 79.398193°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 18313 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 51495 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.279441833496094 y=0.785758972167969 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.279441833496094 × 216)
    floor (0.279441833496094 × 65536)
    floor (18313.5)     		tx = 18313
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.785758972167969 × 216)
    floor (0.785758972167969 × 65536)
    floor (51495.5)     		ty = 51495
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 18313 / 51495 ti = "16/18313/51495"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/18313/51495.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 18313 ÷ 216
    18313 ÷ 65536     		x = 0.279434204101562
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 51495 ÷ 216
    51495 ÷ 65536     		y = 0.785751342773438
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.279434204101562 × 2 - 1) × π
    -0.441131591796875 × 3.1415926535     		Λ = -1.38585577
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.785751342773438 × 2 - 1) × π
    -0.571502685546875 × 3.1415926535     		Φ = -1.79542863836958
    Länge (λ) Λ (unverändert) -1.38585577} λ = -1.38585577}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.79542863836958))-π/2
    2×atan(0.166056259005705)-π/2
    2×0.164554708533834-π/2
    0.329109417067668-1.57079632675     		φ = -1.24168691
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -1.38585577} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -79.403687°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.24168691 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -71.143419°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 18313 KachelY 51495 -1.38585577 -1.24168691 -79.403687 -71.143419
    Oben rechts KachelX + 1 18314 KachelY 51495 -1.38575989 -1.24168691 -79.398193 -71.143419
    Unten links KachelX 18313 KachelY + 1 51496 -1.38585577 -1.24171789 -79.403687 -71.145194
    Unten rechts KachelX + 1 18314 KachelY + 1 51496 -1.38575989 -1.24171789 -79.398193 -71.145194
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.24168691--1.24171789) × R
    3.09800000000138e-05 × 6371000     		dl = 197.373580000088m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.24168691--1.24171789) × R
    3.09800000000138e-05 × 6371000     		dr = 197.373580000088m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-1.38585577--1.38575989) × cos(-1.24168691) × R
    9.58799999999371e-05 × 0.323200370578296 × 6371000     		do = 197.427424704171m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-1.38585577--1.38575989) × cos(-1.24171789) × R
    9.58799999999371e-05 × 0.32317105310259 × 6371000     		du = 197.409516080746m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.24168691)-sin(-1.24171789))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.323200370578296-0.32317105310259)×R²
    abs(-1.38575989--1.38585577)×2.93174757051706e-05×R²
    9.58799999999371e-05×2.93174757051706e-05×6371000²
    9.58799999999371e-05×2.93174757051706e-05×40589641000000     		ar = 38965.1902626201m²