Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 18312 / 19080
↖ ↑ ↗
← S 28.381735°
E 21.181641°		 ← 1 074.80 m → S 28.381735°
E 21.192627°		 →
↑
1 074.79 m
↓
↑
1 074.79 m
↓
S 28.391401°
E 21.181641°		 ← 1 074.70 m →
1 155 127 m²		 S 28.391401°
E 21.192627°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 18312 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 19080 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.558853149414062 y=0.582290649414062 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.558853149414062 × 215)
    floor (0.558853149414062 × 32768)
    floor (18312.5)     		tx = 18312
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.582290649414062 × 215)
    floor (0.582290649414062 × 32768)
    floor (19080.5)     		ty = 19080
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 18312 / 19080 ti = "15/18312/19080"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/18312/19080.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 18312 ÷ 215
    18312 ÷ 32768     		x = 0.558837890625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 19080 ÷ 215
    19080 ÷ 32768     		y = 0.582275390625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.558837890625 × 2 - 1) × π
    0.11767578125 × 3.1415926535     		Λ = 0.36968937
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.582275390625 × 2 - 1) × π
    -0.16455078125 × 3.1415926535     		Φ = -0.516951525502686
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.36968937} λ = 0.36968937}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.516951525502686))-π/2
    2×atan(0.596335694006302)-π/2
    2×0.537720801437499-π/2
    1.075441602875-1.57079632675     		φ = -0.49535472
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.36968937} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 21.181641°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.49535472 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -28.381735°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 18312 KachelY 19080 0.36968937 -0.49535472 21.181641 -28.381735
    Oben rechts KachelX + 1 18313 KachelY 19080 0.36988112 -0.49535472 21.192627 -28.381735
    Unten links KachelX 18312 KachelY + 1 19081 0.36968937 -0.49552342 21.181641 -28.391401
    Unten rechts KachelX + 1 18313 KachelY + 1 19081 0.36988112 -0.49552342 21.192627 -28.391401
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.49535472--0.49552342) × R
    0.000168699999999966 × 6371000     		dl = 1074.78769999978m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.49535472--0.49552342) × R
    0.000168699999999966 × 6371000     		dr = 1074.78769999978m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.36968937-0.36988112) × cos(-0.49535472) × R
    0.000191749999999991 × 0.879800151250806 × 6371000     		do = 1074.79839692387m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.36968937-0.36988112) × cos(-0.49552342) × R
    0.000191749999999991 × 0.8797199482388 × 6371000     		du = 1074.70041777643m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.49535472)-sin(-0.49552342))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.879800151250806-0.8797199482388)×R²
    abs(0.36988112-0.36968937)×8.02030120058417e-05×R²
    0.000191749999999991×8.02030120058417e-05×6371000²
    0.000191749999999991×8.02030120058417e-05×40589641000000     		ar = 1155127.44634154m²