Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 18311 / 51845
↖ ↑ ↗
← S 71.755033°
W 79.414673°		 ← 191.25 m → S 71.755033°
W 79.409180°		 →
↑
191.19 m
↓
↑
191.19 m
↓
S 71.756752°
W 79.414673°		 ← 191.23 m →
36 563 m²		 S 71.756752°
W 79.409180°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 18311 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 51845 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.279411315917969 y=0.791099548339844 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.279411315917969 × 216)
    floor (0.279411315917969 × 65536)
    floor (18311.5)     		tx = 18311
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.791099548339844 × 216)
    floor (0.791099548339844 × 65536)
    floor (51845.5)     		ty = 51845
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 18311 / 51845 ti = "16/18311/51845"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/18311/51845.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 18311 ÷ 216
    18311 ÷ 65536     		x = 0.279403686523438
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 51845 ÷ 216
    51845 ÷ 65536     		y = 0.791091918945312
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.279403686523438 × 2 - 1) × π
    -0.441192626953125 × 3.1415926535     		Λ = -1.38604752
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.791091918945312 × 2 - 1) × π
    -0.582183837890625 × 3.1415926535     		Φ = -1.82898446810362
    Länge (λ) Λ (unverändert) -1.38604752} λ = -1.38604752}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.82898446810362))-π/2
    2×atan(0.160576555615528)-π/2
    2×0.159217375778877-π/2
    0.318434751557754-1.57079632675     		φ = -1.25236158
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -1.38604752} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -79.414673°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.25236158 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -71.755033°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 18311 KachelY 51845 -1.38604752 -1.25236158 -79.414673 -71.755033
    Oben rechts KachelX + 1 18312 KachelY 51845 -1.38595164 -1.25236158 -79.409180 -71.755033
    Unten links KachelX 18311 KachelY + 1 51846 -1.38604752 -1.25239159 -79.414673 -71.756752
    Unten rechts KachelX + 1 18312 KachelY + 1 51846 -1.38595164 -1.25239159 -79.409180 -71.756752
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.25236158--1.25239159) × R
    3.00099999999137e-05 × 6371000     		dl = 191.19370999945m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.25236158--1.25239159) × R
    3.00099999999137e-05 × 6371000     		dr = 191.19370999945m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-1.38604752--1.38595164) × cos(-1.25236158) × R
    9.58799999999371e-05 × 0.313080382095544 × 6371000     		do = 191.245614761903m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-1.38604752--1.38595164) × cos(-1.25239159) × R
    9.58799999999371e-05 × 0.313051880658361 × 6371000     		du = 191.228204616818m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.25236158)-sin(-1.25239159))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.313080382095544-0.313051880658361)×R²
    abs(-1.38595164--1.38604752)×2.85014371834147e-05×R²
    9.58799999999371e-05×2.85014371834147e-05×6371000²
    9.58799999999371e-05×2.85014371834147e-05×40589641000000     		ar = 36563.2942554915m²