Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 18311 / 19093
↖ ↑ ↗
← S 28.507316°
E 21.170654°		 ← 1 073.52 m → S 28.507316°
E 21.181641°		 →
↑
1 073.45 m
↓
↑
1 073.45 m
↓
S 28.516969°
E 21.170654°		 ← 1 073.42 m →
1 152 320 m²		 S 28.516969°
E 21.181641°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 18311 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 19093 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.558822631835938 y=0.582687377929688 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.558822631835938 × 215)
    floor (0.558822631835938 × 32768)
    floor (18311.5)     		tx = 18311
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.582687377929688 × 215)
    floor (0.582687377929688 × 32768)
    floor (19093.5)     		ty = 19093
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 18311 / 19093 ti = "15/18311/19093"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/18311/19093.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 18311 ÷ 215
    18311 ÷ 32768     		x = 0.558807373046875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 19093 ÷ 215
    19093 ÷ 32768     		y = 0.582672119140625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.558807373046875 × 2 - 1) × π
    0.11761474609375 × 3.1415926535     		Λ = 0.36949762
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.582672119140625 × 2 - 1) × π
    -0.16534423828125 × 3.1415926535     		Φ = -0.519444244282928
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.36949762} λ = 0.36949762}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.519444244282928))-π/2
    2×atan(0.594851047993777)-π/2
    2×0.536624904529531-π/2
    1.07324980905906-1.57079632675     		φ = -0.49754652
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.36949762} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 21.170654°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.49754652 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -28.507316°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 18311 KachelY 19093 0.36949762 -0.49754652 21.170654 -28.507316
    Oben rechts KachelX + 1 18312 KachelY 19093 0.36968937 -0.49754652 21.181641 -28.507316
    Unten links KachelX 18311 KachelY + 1 19094 0.36949762 -0.49771501 21.170654 -28.516969
    Unten rechts KachelX + 1 18312 KachelY + 1 19094 0.36968937 -0.49771501 21.181641 -28.516969
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.49754652--0.49771501) × R
    0.000168490000000021 × 6371000     		dl = 1073.44979000013m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.49754652--0.49771501) × R
    0.000168490000000021 × 6371000     		dr = 1073.44979000013m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.36949762-0.36968937) × cos(-0.49754652) × R
    0.000191749999999991 × 0.87875618034981 × 6371000     		do = 1073.52304109535m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.36949762-0.36968937) × cos(-0.49771501) × R
    0.000191749999999991 × 0.878675752491587 × 6371000     		du = 1073.42478726695m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.49754652)-sin(-0.49771501))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.87875618034981-0.878675752491587)×R²
    abs(0.36968937-0.36949762)×8.04278582228202e-05×R²
    0.000191749999999991×8.04278582228202e-05×6371000²
    0.000191749999999991×8.04278582228202e-05×40589641000000     		ar = 1152320.3504747m²