Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 18310 / 51501
↖ ↑ ↗
← S 71.154069°
W 79.420166°		 ← 197.30 m → S 71.154069°
W 79.414673°		 →
↑
197.31 m
↓
↑
197.31 m
↓
S 71.155843°
W 79.420166°		 ← 197.28 m →
38 927 m²		 S 71.155843°
W 79.414673°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 18310 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 51501 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.279396057128906 y=0.785850524902344 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.279396057128906 × 216)
    floor (0.279396057128906 × 65536)
    floor (18310.5)     		tx = 18310
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.785850524902344 × 216)
    floor (0.785850524902344 × 65536)
    floor (51501.5)     		ty = 51501
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 18310 / 51501 ti = "16/18310/51501"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/18310/51501.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 18310 ÷ 216
    18310 ÷ 65536     		x = 0.279388427734375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 51501 ÷ 216
    51501 ÷ 65536     		y = 0.785842895507812
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.279388427734375 × 2 - 1) × π
    -0.44122314453125 × 3.1415926535     		Λ = -1.38614339
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.785842895507812 × 2 - 1) × π
    -0.571685791015625 × 3.1415926535     		Φ = -1.79600388116502
    Länge (λ) Λ (unverändert) -1.38614339} λ = -1.38614339}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.79600388116502))-π/2
    2×atan(0.16596076380817)-π/2
    2×0.164461774489506-π/2
    0.328923548979011-1.57079632675     		φ = -1.24187278
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -1.38614339} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -79.420166°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.24187278 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -71.154069°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 18310 KachelY 51501 -1.38614339 -1.24187278 -79.420166 -71.154069
    Oben rechts KachelX + 1 18311 KachelY 51501 -1.38604752 -1.24187278 -79.414673 -71.154069
    Unten links KachelX 18310 KachelY + 1 51502 -1.38614339 -1.24190375 -79.420166 -71.155843
    Unten rechts KachelX + 1 18311 KachelY + 1 51502 -1.38604752 -1.24190375 -79.414673 -71.155843
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.24187278--1.24190375) × R
    3.09700000000745e-05 × 6371000     		dl = 197.309870000475m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.24187278--1.24190375) × R
    3.09700000000745e-05 × 6371000     		dr = 197.309870000475m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-1.38614339--1.38604752) × cos(-1.24187278) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.323024470536032 × 6371000     		do = 197.299396014129m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-1.38614339--1.38604752) × cos(-1.24190375) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.322995160663854 × 6371000     		du = 197.281493902663m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.24187278)-sin(-1.24190375))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.323024470536032-0.322995160663854)×R²
    abs(-1.38604752--1.38614339)×2.93098721776408e-05×R²
    9.58699999999979e-05×2.93098721776408e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×2.93098721776408e-05×40589641000000     		ar = 38927.3520501758m²