Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 18310 / 19079
↖ ↑ ↗
← S 28.372069°
E 21.159668°		 ← 1 074.90 m → S 28.372069°
E 21.170654°		 →
↑
1 074.79 m
↓
↑
1 074.79 m
↓
S 28.381735°
E 21.159668°		 ← 1 074.80 m →
1 155 233 m²		 S 28.381735°
E 21.170654°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 18310 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 19079 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.558792114257812 y=0.582260131835938 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.558792114257812 × 215)
    floor (0.558792114257812 × 32768)
    floor (18310.5)     		tx = 18310
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.582260131835938 × 215)
    floor (0.582260131835938 × 32768)
    floor (19079.5)     		ty = 19079
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 18310 / 19079 ti = "15/18310/19079"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/18310/19079.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 18310 ÷ 215
    18310 ÷ 32768     		x = 0.55877685546875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 19079 ÷ 215
    19079 ÷ 32768     		y = 0.582244873046875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.55877685546875 × 2 - 1) × π
    0.1175537109375 × 3.1415926535     		Λ = 0.36930587
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.582244873046875 × 2 - 1) × π
    -0.16448974609375 × 3.1415926535     		Φ = -0.516759777904205
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.36930587} λ = 0.36930587}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.516759777904205))-π/2
    2×atan(0.596450050906996)-π/2
    2×0.537805155064183-π/2
    1.07561031012837-1.57079632675     		φ = -0.49518602
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.36930587} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 21.159668°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.49518602 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -28.372069°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 18310 KachelY 19079 0.36930587 -0.49518602 21.159668 -28.372069
    Oben rechts KachelX + 1 18311 KachelY 19079 0.36949762 -0.49518602 21.170654 -28.372069
    Unten links KachelX 18310 KachelY + 1 19080 0.36930587 -0.49535472 21.159668 -28.381735
    Unten rechts KachelX + 1 18311 KachelY + 1 19080 0.36949762 -0.49535472 21.170654 -28.381735
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.49518602--0.49535472) × R
    0.000168700000000022 × 6371000     		dl = 1074.78770000014m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.49518602--0.49535472) × R
    0.000168700000000022 × 6371000     		dr = 1074.78770000014m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.36930587-0.36949762) × cos(-0.49518602) × R
    0.000191750000000046 × 0.879880329223972 × 6371000     		do = 1074.89634548318m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.36930587-0.36949762) × cos(-0.49535472) × R
    0.000191750000000046 × 0.879800151250806 × 6371000     		du = 1074.79839692418m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.49518602)-sin(-0.49535472))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.879880329223972-0.879800151250806)×R²
    abs(0.36949762-0.36930587)×8.01779731663954e-05×R²
    0.000191750000000046×8.01779731663954e-05×6371000²
    0.000191750000000046×8.01779731663954e-05×40589641000000     		ar = 1155232.73668731m²