Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
12 / 1831 / 1228
↖ ↑ ↗
← N 58.263287°
W 19.072266°		 ← 5 140.75 m → N 58.263287°
W 18.984375°		 →
↑
5 144.07 m
↓
↑
5 144.07 m
↓
N 58.217025°
W 19.072266°		 ← 5 147.46 m →
26 461 672 m²		 N 58.217025°
W 18.984375°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 12 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 1831 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 1228 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.4471435546875 y=0.2999267578125 und der Vergrößerungsstufe zoom=12 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.4471435546875 × 212)
    floor (0.4471435546875 × 4096)
    floor (1831.5)     		tx = 1831
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.2999267578125 × 212)
    floor (0.2999267578125 × 4096)
    floor (1228.5)     		ty = 1228
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 12 / 1831 / 1228 ti = "12/1831/1228"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/12/1831/1228.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 1831 ÷ 212
    1831 ÷ 4096     		x = 0.447021484375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 1228 ÷ 212
    1228 ÷ 4096     		y = 0.2998046875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.447021484375 × 2 - 1) × π
    -0.10595703125 × 3.1415926535     		Λ = -0.33287383
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.2998046875 × 2 - 1) × π
    0.400390625 × 3.1415926535     		Φ = 1.25786424603027
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.33287383} λ = -0.33287383}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.25786424603027))-π/2
    2×atan(3.5179000892158)-π/2
    2×1.29384125943822-π/2
    2.58768251887645-1.57079632675     		φ = 1.01688619
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.33287383} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -19.072266°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.01688619 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 58.263287°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 1831 KachelY 1228 -0.33287383 1.01688619 -19.072266 58.263287
    Oben rechts KachelX + 1 1832 KachelY 1228 -0.33133985 1.01688619 -18.984375 58.263287
    Unten links KachelX 1831 KachelY + 1 1229 -0.33287383 1.01607877 -19.072266 58.217025
    Unten rechts KachelX + 1 1832 KachelY + 1 1229 -0.33133985 1.01607877 -18.984375 58.217025
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.01688619-1.01607877) × R
    0.000807419999999892 × 6371000     		dl = 5144.07281999931m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.01688619-1.01607877) × R
    0.000807419999999892 × 6371000     		dr = 5144.07281999931m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.33287383--0.33133985) × cos(1.01688619) × R
    0.00153397999999999 × 0.526016712216751 × 6371000     		do = 5140.75426935m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.33287383--0.33133985) × cos(1.01607877) × R
    0.00153397999999999 × 0.526703230583894 × 6371000     		du = 5147.46360413901m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.01688619)-sin(1.01607877))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.526016712216751-0.526703230583894)×R²
    abs(-0.33133985--0.33287383)×0.000686518367142619×R²
    0.00153397999999999×0.000686518367142619×6371000²
    0.00153397999999999×0.000686518367142619×40589641000000     		ar = 26461672.402214m²