Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 18309 / 14457
↖ ↑ ↗
← N 70.390763°
W 79.425659°		 ← 204.98 m → N 70.390763°
W 79.420166°		 →
↑
204.96 m
↓
↑
204.96 m
↓
N 70.388919°
W 79.425659°		 ← 205 m →
42 014 m²		 N 70.388919°
W 79.420166°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 18309 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 14457 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.279380798339844 y=0.220603942871094 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.279380798339844 × 216)
    floor (0.279380798339844 × 65536)
    floor (18309.5)     		tx = 18309
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.220603942871094 × 216)
    floor (0.220603942871094 × 65536)
    floor (14457.5)     		ty = 14457
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 18309 / 14457 ti = "16/18309/14457"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/18309/14457.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 18309 ÷ 216
    18309 ÷ 65536     		x = 0.279373168945312
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 14457 ÷ 216
    14457 ÷ 65536     		y = 0.220596313476562
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.279373168945312 × 2 - 1) × π
    -0.441253662109375 × 3.1415926535     		Λ = -1.38623926
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.220596313476562 × 2 - 1) × π
    0.558807373046875 × 3.1415926535     		Φ = 1.7555451378857
    Länge (λ) Λ (unverändert) -1.38623926} λ = -1.38623926}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.7555451378857))-π/2
    2×atan(5.78660137793599)-π/2
    2×1.39967344939322-π/2
    2.79934689878643-1.57079632675     		φ = 1.22855057
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -1.38623926} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -79.425659°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.22855057 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 70.390763°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 18309 KachelY 14457 -1.38623926 1.22855057 -79.425659 70.390763
    Oben rechts KachelX + 1 18310 KachelY 14457 -1.38614339 1.22855057 -79.420166 70.390763
    Unten links KachelX 18309 KachelY + 1 14458 -1.38623926 1.22851840 -79.425659 70.388919
    Unten rechts KachelX + 1 18310 KachelY + 1 14458 -1.38614339 1.22851840 -79.420166 70.388919
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.22855057-1.22851840) × R
    3.2169999999887e-05 × 6371000     		dl = 204.95506999928m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.22855057-1.22851840) × R
    3.2169999999887e-05 × 6371000     		dr = 204.95506999928m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-1.38623926--1.38614339) × cos(1.22855057) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.335603447099213 × 6371000     		do = 204.982481058037m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-1.38623926--1.38614339) × cos(1.22851840) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.335633751173571 × 6371000     		du = 205.000990416036m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.22855057)-sin(1.22851840))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.335603447099213-0.335633751173571)×R²
    abs(-1.38614339--1.38623926)×3.03040743588334e-05×R²
    9.58699999999979e-05×3.03040743588334e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×3.03040743588334e-05×40589641000000     		ar = 42014.0955504662m²