Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 18308 / 14468
↖ ↑ ↗
← N 70.370474°
W 79.431153°		 ← 205.21 m → N 70.370474°
W 79.425659°		 →
↑
205.15 m
↓
↑
205.15 m
↓
N 70.368629°
W 79.431153°		 ← 205.23 m →
42 099 m²		 N 70.368629°
W 79.425659°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 18308 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 14468 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.279365539550781 y=0.220771789550781 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.279365539550781 × 216)
    floor (0.279365539550781 × 65536)
    floor (18308.5)     		tx = 18308
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.220771789550781 × 216)
    floor (0.220771789550781 × 65536)
    floor (14468.5)     		ty = 14468
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 18308 / 14468 ti = "16/18308/14468"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/18308/14468.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 18308 ÷ 216
    18308 ÷ 65536     		x = 0.27935791015625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 14468 ÷ 216
    14468 ÷ 65536     		y = 0.22076416015625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.27935791015625 × 2 - 1) × π
    -0.4412841796875 × 3.1415926535     		Λ = -1.38633514
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.22076416015625 × 2 - 1) × π
    0.5584716796875 × 3.1415926535     		Φ = 1.75449052609406
    Länge (λ) Λ (unverändert) -1.38633514} λ = -1.38633514}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.75449052609406))-π/2
    2×atan(5.78050197670483)-π/2
    2×1.39949639578939-π/2
    2.79899279157878-1.57079632675     		φ = 1.22819646
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -1.38633514} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -79.431153°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.22819646 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 70.370474°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 18308 KachelY 14468 -1.38633514 1.22819646 -79.431153 70.370474
    Oben rechts KachelX + 1 18309 KachelY 14468 -1.38623926 1.22819646 -79.425659 70.370474
    Unten links KachelX 18308 KachelY + 1 14469 -1.38633514 1.22816426 -79.431153 70.368629
    Unten rechts KachelX + 1 18309 KachelY + 1 14469 -1.38623926 1.22816426 -79.425659 70.368629
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.22819646-1.22816426) × R
    3.21999999999267e-05 × 6371000     		dl = 205.146199999533m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.22819646-1.22816426) × R
    3.21999999999267e-05 × 6371000     		dr = 205.146199999533m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-1.38633514--1.38623926) × cos(1.22819646) × R
    9.58799999999371e-05 × 0.335936998859996 × 6371000     		do = 205.207612940252m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-1.38633514--1.38623926) × cos(1.22816426) × R
    9.58799999999371e-05 × 0.335967327365392 × 6371000     		du = 205.22613915266m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.22819646)-sin(1.22816426))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.335936998859996-0.335967327365392)×R²
    abs(-1.38623926--1.38633514)×3.03285053956937e-05×R²
    9.58799999999371e-05×3.03285053956937e-05×6371000²
    9.58799999999371e-05×3.03285053956937e-05×40589641000000     		ar = 42099.4623004324m²