Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 18305 / 19329
↖ ↑ ↗
← S 30.760719°
E 21.104737°		 ← 1 049.71 m → S 30.760719°
E 21.115722°		 →
↑
1 049.69 m
↓
↑
1 049.69 m
↓
S 30.770159°
E 21.104737°		 ← 1 049.61 m →
1 101 815 m²		 S 30.770159°
E 21.115722°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 18305 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 19329 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.558639526367188 y=0.589889526367188 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.558639526367188 × 215)
    floor (0.558639526367188 × 32768)
    floor (18305.5)     		tx = 18305
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.589889526367188 × 215)
    floor (0.589889526367188 × 32768)
    floor (19329.5)     		ty = 19329
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 18305 / 19329 ti = "15/18305/19329"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/18305/19329.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 18305 ÷ 215
    18305 ÷ 32768     		x = 0.558624267578125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 19329 ÷ 215
    19329 ÷ 32768     		y = 0.589874267578125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.558624267578125 × 2 - 1) × π
    0.11724853515625 × 3.1415926535     		Λ = 0.36834714
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.589874267578125 × 2 - 1) × π
    -0.17974853515625 × 3.1415926535     		Φ = -0.564696677524261
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.36834714} λ = 0.36834714}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.564696677524261))-π/2
    2×atan(0.568532569312862)-π/2
    2×0.516960250783604-π/2
    1.03392050156721-1.57079632675     		φ = -0.53687583
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.36834714} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 21.104737°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.53687583 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -30.760719°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 18305 KachelY 19329 0.36834714 -0.53687583 21.104737 -30.760719
    Oben rechts KachelX + 1 18306 KachelY 19329 0.36853888 -0.53687583 21.115722 -30.760719
    Unten links KachelX 18305 KachelY + 1 19330 0.36834714 -0.53704059 21.104737 -30.770159
    Unten rechts KachelX + 1 18306 KachelY + 1 19330 0.36853888 -0.53704059 21.115722 -30.770159
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.53687583--0.53704059) × R
    0.000164759999999986 × 6371000     		dl = 1049.68595999991m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.53687583--0.53704059) × R
    0.000164759999999986 × 6371000     		dr = 1049.68595999991m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.36834714-0.36853888) × cos(-0.53687583) × R
    0.000191739999999996 × 0.859310741189041 × 6371000     		do = 1049.71298269578m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.36834714-0.36853888) × cos(-0.53704059) × R
    0.000191739999999996 × 0.859226462388219 × 6371000     		du = 1049.61002977416m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.53687583)-sin(-0.53704059))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.859310741189041-0.859226462388219)×R²
    abs(0.36853888-0.36834714)×8.42788008218465e-05×R²
    0.000191739999999996×8.42788008218465e-05×6371000²
    0.000191739999999996×8.42788008218465e-05×40589641000000     		ar = 1101814.94833972m²