Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 18304 / 12673
↖ ↑ ↗
← N 80.927993°
W129.726562°		 ← 48.15 m → N 80.927993°
W129.723816°		 →
↑
48.16 m
↓
↑
48.16 m
↓
N 80.927560°
W129.726562°		 ← 48.15 m →
2 319 m²		 N 80.927560°
W129.723816°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 18304 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 12673 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.139652252197266 y=0.0966911315917969 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.139652252197266 × 217)
    floor (0.139652252197266 × 131072)
    floor (18304.5)     		tx = 18304
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.0966911315917969 × 217)
    floor (0.0966911315917969 × 131072)
    floor (12673.5)     		ty = 12673
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 18304 / 12673 ti = "17/18304/12673"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/18304/12673.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 18304 ÷ 217
    18304 ÷ 131072     		x = 0.1396484375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 12673 ÷ 217
    12673 ÷ 131072     		y = 0.0966873168945312
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.1396484375 × 2 - 1) × π
    -0.720703125 × 3.1415926535     		Λ = -2.26415564
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.0966873168945312 × 2 - 1) × π
    0.806625366210938 × 3.1415926535     		Φ = 2.53408832461503
    Länge (λ) Λ (unverändert) -2.26415564} λ = -2.26415564}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.53408832461503))-π/2
    2×atan(12.6049340000795)-π/2
    2×1.49162812763833-π/2
    2.98325625527666-1.57079632675     		φ = 1.41245993
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -2.26415564} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -129.726562°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.41245993 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 80.927993°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 18304 KachelY 12673 -2.26415564 1.41245993 -129.726562 80.927993
    Oben rechts KachelX + 1 18305 KachelY 12673 -2.26410771 1.41245993 -129.723816 80.927993
    Unten links KachelX 18304 KachelY + 1 12674 -2.26415564 1.41245237 -129.726562 80.927560
    Unten rechts KachelX + 1 18305 KachelY + 1 12674 -2.26410771 1.41245237 -129.723816 80.927560
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.41245993-1.41245237) × R
    7.56000000001755e-06 × 6371000     		dl = 48.1647600001118m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.41245993-1.41245237) × R
    7.56000000001755e-06 × 6371000     		dr = 48.1647600001118m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-2.26415564--2.26410771) × cos(1.41245993) × R
    4.79299999995852e-05 × 0.157675632436472 × 6371000     		do = 48.1481512019182m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-2.26415564--2.26410771) × cos(1.41245237) × R
    4.79299999995852e-05 × 0.157683097863619 × 6371000     		du = 48.1504308599067m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.41245993)-sin(1.41245237))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.157675632436472-0.157683097863619)×R²
    abs(-2.26410771--2.26415564)×7.46542714727405e-06×R²
    4.79299999995852e-05×7.46542714727405e-06×6371000²
    4.79299999995852e-05×7.46542714727405e-06×40589641000000     		ar = 2319.0990467556m²