Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
15 / 18302 / 19074
↖ ↑ ↗
← S 28.323725°
E 21.071777°		 ← 1 075.39 m → S 28.323725°
E 21.082764°		 →
↑
1 075.30 m
↓
↑
1 075.30 m
↓
S 28.333395°
E 21.071777°		 ← 1 075.29 m →
1 156 307 m²		 S 28.333395°
E 21.082764°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 18302 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 19074 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.558547973632812 y=0.582107543945312 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.558547973632812 × 215)
    floor (0.558547973632812 × 32768)
    floor (18302.5)     		tx = 18302
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.582107543945312 × 215)
    floor (0.582107543945312 × 32768)
    floor (19074.5)     		ty = 19074
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 18302 / 19074 ti = "15/18302/19074"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/18302/19074.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 18302 ÷ 215
    18302 ÷ 32768     		x = 0.55853271484375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 19074 ÷ 215
    19074 ÷ 32768     		y = 0.58209228515625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.55853271484375 × 2 - 1) × π
    0.1170654296875 × 3.1415926535     		Λ = 0.36777189
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.58209228515625 × 2 - 1) × π
    -0.1641845703125 × 3.1415926535     		Φ = -0.515801039911804
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.36777189} λ = 0.36777189}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.515801039911804))-π/2
    2×atan(0.597022164441038)-π/2
    2×0.538227038460268-π/2
    1.07645407692054-1.57079632675     		φ = -0.49434225
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.36777189} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 21.071777°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.49434225 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -28.323725°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 18302 KachelY 19074 0.36777189 -0.49434225 21.071777 -28.323725
    Oben rechts KachelX + 1 18303 KachelY 19074 0.36796364 -0.49434225 21.082764 -28.323725
    Unten links KachelX 18302 KachelY + 1 19075 0.36777189 -0.49451103 21.071777 -28.333395
    Unten rechts KachelX + 1 18303 KachelY + 1 19075 0.36796364 -0.49451103 21.082764 -28.333395
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.49434225--0.49451103) × R
    0.000168780000000035 × 6371000     		dl = 1075.29738000022m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.49434225--0.49451103) × R
    0.000168780000000035 × 6371000     		dr = 1075.29738000022m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.36777189-0.36796364) × cos(-0.49434225) × R
    0.000191749999999991 × 0.880280971529646 × 6371000     		do = 1075.3857858487m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.36777189-0.36796364) × cos(-0.49451103) × R
    0.000191749999999991 × 0.880200880856882 × 6371000     		du = 1075.28794393929m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.49434225)-sin(-0.49451103))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.880280971529646-0.880200880856882)×R²
    abs(0.36796364-0.36777189)×8.00906727638218e-05×R²
    0.000191749999999991×8.00906727638218e-05×6371000²
    0.000191749999999991×8.00906727638218e-05×40589641000000     		ar = 1156306.91618314m²