Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 18300 / 19620
↖ ↑ ↗
← S 33.468108°
E 21.049805°		 ← 1 019.08 m → S 33.468108°
E 21.060791°		 →
↑
1 018.98 m
↓
↑
1 018.98 m
↓
S 33.477272°
E 21.049805°		 ← 1 018.98 m →
1 038 368 m²		 S 33.477272°
E 21.060791°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 18300 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 19620 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.558486938476562 y=0.598770141601562 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.558486938476562 × 215)
    floor (0.558486938476562 × 32768)
    floor (18300.5)     		tx = 18300
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.598770141601562 × 215)
    floor (0.598770141601562 × 32768)
    floor (19620.5)     		ty = 19620
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 18300 / 19620 ti = "15/18300/19620"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/18300/19620.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 18300 ÷ 215
    18300 ÷ 32768     		x = 0.5584716796875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 19620 ÷ 215
    19620 ÷ 32768     		y = 0.5987548828125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.5584716796875 × 2 - 1) × π
    0.116943359375 × 3.1415926535     		Λ = 0.36738840
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.5987548828125 × 2 - 1) × π
    -0.197509765625 × 3.1415926535     		Φ = -0.620495228682007
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.36738840} λ = 0.36738840}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.620495228682007))-π/2
    2×atan(0.537678098034789)-π/2
    2×0.493333824288583-π/2
    0.986667648577166-1.57079632675     		φ = -0.58412868
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.36738840} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 21.049805°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.58412868 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -33.468108°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 18300 KachelY 19620 0.36738840 -0.58412868 21.049805 -33.468108
    Oben rechts KachelX + 1 18301 KachelY 19620 0.36758015 -0.58412868 21.060791 -33.468108
    Unten links KachelX 18300 KachelY + 1 19621 0.36738840 -0.58428862 21.049805 -33.477272
    Unten rechts KachelX + 1 18301 KachelY + 1 19621 0.36758015 -0.58428862 21.060791 -33.477272
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.58412868--0.58428862) × R
    0.000159940000000081 × 6371000     		dl = 1018.97774000051m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.58412868--0.58428862) × R
    0.000159940000000081 × 6371000     		dr = 1018.97774000051m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.36738840-0.36758015) × cos(-0.58412868) × R
    0.000191749999999991 × 0.834192911715489 × 6371000     		do = 1019.08280302338m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.36738840-0.36758015) × cos(-0.58428862) × R
    0.000191749999999991 × 0.83410469849572 × 6371000     		du = 1018.97503829174m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.58412868)-sin(-0.58428862))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.834192911715489-0.83410469849572)×R²
    abs(0.36758015-0.36738840)×8.82132197688179e-05×R²
    0.000191749999999991×8.82132197688179e-05×6371000²
    0.000191749999999991×8.82132197688179e-05×40589641000000     		ar = 1038367.78878034m²