Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
12 / 1830 / 926
↖ ↑ ↗
← N 69.718107°
W 19.160156°		 ← 3 387.70 m → N 69.718107°
W 19.072266°		 →
↑
3 390.14 m
↓
↑
3 390.14 m
↓
N 69.687618°
W 19.160156°		 ← 3 392.58 m →
11 493 036 m²		 N 69.687618°
W 19.072266°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 12 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 1830 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 926 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.4468994140625 y=0.2261962890625 und der Vergrößerungsstufe zoom=12 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.4468994140625 × 212)
    floor (0.4468994140625 × 4096)
    floor (1830.5)     		tx = 1830
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.2261962890625 × 212)
    floor (0.2261962890625 × 4096)
    floor (926.5)     		ty = 926
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 12 / 1830 / 926 ti = "12/1830/926"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/12/1830/926.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 1830 ÷ 212
    1830 ÷ 4096     		x = 0.44677734375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 926 ÷ 212
    926 ÷ 4096     		y = 0.22607421875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.44677734375 × 2 - 1) × π
    -0.1064453125 × 3.1415926535     		Λ = -0.33440781
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.22607421875 × 2 - 1) × π
    0.5478515625 × 3.1415926535     		Φ = 1.7211264439585
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.33440781} λ = -0.33440781}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.7211264439585))-π/2
    2×atan(5.59082266699345)-π/2
    2×1.39380341846664-π/2
    2.78760683693329-1.57079632675     		φ = 1.21681051
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.33440781} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -19.160156°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.21681051 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 69.718107°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 1830 KachelY 926 -0.33440781 1.21681051 -19.160156 69.718107
    Oben rechts KachelX + 1 1831 KachelY 926 -0.33287383 1.21681051 -19.072266 69.718107
    Unten links KachelX 1830 KachelY + 1 927 -0.33440781 1.21627839 -19.160156 69.687618
    Unten rechts KachelX + 1 1831 KachelY + 1 927 -0.33287383 1.21627839 -19.072266 69.687618
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.21681051-1.21627839) × R
    0.000532119999999914 × 6371000     		dl = 3390.13651999945m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.21681051-1.21627839) × R
    0.000532119999999914 × 6371000     		dr = 3390.13651999945m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.33440781--0.33287383) × cos(1.21681051) × R
    0.00153398000000005 × 0.346639241317444 × 6371000     		do = 3387.70065349687m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.33440781--0.33287383) × cos(1.21627839) × R
    0.00153398000000005 × 0.347138319994255 × 6371000     		du = 3392.5781427077m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.21681051)-sin(1.21627839))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.346639241317444-0.347138319994255)×R²
    abs(-0.33287383--0.33440781)×0.000499078676811149×R²
    0.00153398000000005×0.000499078676811149×6371000²
    0.00153398000000005×0.000499078676811149×40589641000000     		ar = 11493035.6525815m²