Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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14 / 1830 / 2190
↖ ↑ ↗
← N 78.569201°
W139.790039°		 ← 484.21 m → N 78.569201°
W139.768067°		 →
↑
484.32 m
↓
↑
484.32 m
↓
N 78.564845°
W139.790039°		 ← 484.39 m →
234 557 m²		 N 78.564845°
W139.768067°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 14 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 1830 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 2190 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.111724853515625 y=0.133697509765625 und der Vergrößerungsstufe zoom=14 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.111724853515625 × 214)
    floor (0.111724853515625 × 16384)
    floor (1830.5)     		tx = 1830
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.133697509765625 × 214)
    floor (0.133697509765625 × 16384)
    floor (2190.5)     		ty = 2190
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 14 / 1830 / 2190 ti = "14/1830/2190"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/14/1830/2190.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 1830 ÷ 214
    1830 ÷ 16384     		x = 0.1116943359375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 2190 ÷ 214
    2190 ÷ 16384     		y = 0.1336669921875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.1116943359375 × 2 - 1) × π
    -0.776611328125 × 3.1415926535     		Λ = -2.43979644
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.1336669921875 × 2 - 1) × π
    0.732666015625 × 3.1415926535     		Φ = 2.30173817215662
    Länge (λ) Λ (unverändert) -2.43979644} λ = -2.43979644}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.30173817215662))-π/2
    2×atan(9.99153437698799)-π/2
    2×1.47104378594072-π/2
    2.94208757188143-1.57079632675     		φ = 1.37129125
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -2.43979644} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -139.790039°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.37129125 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 78.569201°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 1830 KachelY 2190 -2.43979644 1.37129125 -139.790039 78.569201
    Oben rechts KachelX + 1 1831 KachelY 2190 -2.43941295 1.37129125 -139.768067 78.569201
    Unten links KachelX 1830 KachelY + 1 2191 -2.43979644 1.37121523 -139.790039 78.564845
    Unten rechts KachelX + 1 1831 KachelY + 1 2191 -2.43941295 1.37121523 -139.768067 78.564845
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.37129125-1.37121523) × R
    7.60200000000655e-05 × 6371000     		dl = 484.323420000417m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.37129125-1.37121523) × R
    7.60200000000655e-05 × 6371000     		dr = 484.323420000417m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-2.43979644--2.43941295) × cos(1.37129125) × R
    0.000383489999999931 × 0.198184248791019 × 6371000     		do = 484.206687791171m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-2.43979644--2.43941295) × cos(1.37121523) × R
    0.000383489999999931 × 0.19825876034516 × 6371000     		du = 484.388735522272m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.37129125)-sin(1.37121523))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.198184248791019-0.19825876034516)×R²
    abs(-2.43941295--2.43979644)×7.45115541403996e-05×R²
    0.000383489999999931×7.45115541403996e-05×6371000²
    0.000383489999999931×7.45115541403996e-05×40589641000000     		ar = 234556.724121065m²