Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 18298 / 13083
↖ ↑ ↗
← N 80.748700°
W129.743042°		 ← 49.09 m → N 80.748700°
W129.740296°		 →
↑
49.12 m
↓
↑
49.12 m
↓
N 80.748259°
W129.743042°		 ← 49.09 m →
2 411 m²		 N 80.748259°
W129.740296°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 18298 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 13083 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.139606475830078 y=0.0998191833496094 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.139606475830078 × 217)
    floor (0.139606475830078 × 131072)
    floor (18298.5)     		tx = 18298
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.0998191833496094 × 217)
    floor (0.0998191833496094 × 131072)
    floor (13083.5)     		ty = 13083
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 18298 / 13083 ti = "17/18298/13083"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/18298/13083.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 18298 ÷ 217
    18298 ÷ 131072     		x = 0.139602661132812
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 13083 ÷ 217
    13083 ÷ 131072     		y = 0.0998153686523438
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.139602661132812 × 2 - 1) × π
    -0.720794677734375 × 3.1415926535     		Λ = -2.26444326
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.0998153686523438 × 2 - 1) × π
    0.800369262695312 × 3.1415926535     		Φ = 2.51443419577081
    Länge (λ) Λ (unverändert) -2.26444326} λ = -2.26444326}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.51443419577081))-π/2
    2×atan(12.3596136786795)-π/2
    2×1.49006350736577-π/2
    2.98012701473154-1.57079632675     		φ = 1.40933069
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -2.26444326} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -129.743042°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.40933069 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 80.748700°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 18298 KachelY 13083 -2.26444326 1.40933069 -129.743042 80.748700
    Oben rechts KachelX + 1 18299 KachelY 13083 -2.26439533 1.40933069 -129.740296 80.748700
    Unten links KachelX 18298 KachelY + 1 13084 -2.26444326 1.40932298 -129.743042 80.748259
    Unten rechts KachelX + 1 18299 KachelY + 1 13084 -2.26439533 1.40932298 -129.740296 80.748259
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.40933069-1.40932298) × R
    7.70999999999411e-06 × 6371000     		dl = 49.1204099999625m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.40933069-1.40932298) × R
    7.70999999999411e-06 × 6371000     		dr = 49.1204099999625m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-2.26444326--2.26439533) × cos(1.40933069) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.16076495161268 × 6371000     		do = 49.0915119773297m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-2.26444326--2.26439533) × cos(1.40932298) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.160772561321776 × 6371000     		du = 49.0938356935472m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.40933069)-sin(1.40932298))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.16076495161268-0.160772561321776)×R²
    abs(-2.26439533--2.26444326)×7.60970909677305e-06×R²
    4.79300000000293e-05×7.60970909677305e-06×6371000²
    4.79300000000293e-05×7.60970909677305e-06×40589641000000     		ar = 2411.45226685754m²