Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 18297 / 19013
↖ ↑ ↗
← S 27.732161°
E 21.016846°		 ← 1 081.26 m → S 27.732161°
E 21.027832°		 →
↑
1 081.29 m
↓
↑
1 081.29 m
↓
S 27.741885°
E 21.016846°		 ← 1 081.16 m →
1 169 095 m²		 S 27.741885°
E 21.027832°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 18297 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 19013 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.558395385742188 y=0.580245971679688 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.558395385742188 × 215)
    floor (0.558395385742188 × 32768)
    floor (18297.5)     		tx = 18297
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.580245971679688 × 215)
    floor (0.580245971679688 × 32768)
    floor (19013.5)     		ty = 19013
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 18297 / 19013 ti = "15/18297/19013"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/18297/19013.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 18297 ÷ 215
    18297 ÷ 32768     		x = 0.558380126953125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 19013 ÷ 215
    19013 ÷ 32768     		y = 0.580230712890625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.558380126953125 × 2 - 1) × π
    0.11676025390625 × 3.1415926535     		Λ = 0.36681316
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.580230712890625 × 2 - 1) × π
    -0.16046142578125 × 3.1415926535     		Φ = -0.504104436404511
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.36681316} λ = 0.36681316}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.504104436404511))-π/2
    2×atan(0.604046295138373)-π/2
    2×0.543389406866628-π/2
    1.08677881373326-1.57079632675     		φ = -0.48401751
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.36681316} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 21.016846°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.48401751 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -27.732161°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 18297 KachelY 19013 0.36681316 -0.48401751 21.016846 -27.732161
    Oben rechts KachelX + 1 18298 KachelY 19013 0.36700490 -0.48401751 21.027832 -27.732161
    Unten links KachelX 18297 KachelY + 1 19014 0.36681316 -0.48418723 21.016846 -27.741885
    Unten rechts KachelX + 1 18298 KachelY + 1 19014 0.36700490 -0.48418723 21.027832 -27.741885
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.48401751--0.48418723) × R
    0.00016972000000004 × 6371000     		dl = 1081.28612000025m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.48401751--0.48418723) × R
    0.00016972000000004 × 6371000     		dr = 1081.28612000025m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.36681316-0.36700490) × cos(-0.48401751) × R
    0.000191739999999996 × 0.88513256710351 × 6371000     		do = 1081.25629363103m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.36681316-0.36700490) × cos(-0.48418723) × R
    0.000191739999999996 × 0.885053577029178 × 6371000     		du = 1081.15980128833m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.48401751)-sin(-0.48418723))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.88513256710351-0.885053577029178)×R²
    abs(0.36700490-0.36681316)×7.89900743313199e-05×R²
    0.000191739999999996×7.89900743313199e-05×6371000²
    0.000191739999999996×7.89900743313199e-05×40589641000000     		ar = 1169095.25735718m²