Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 18297 / 18975
↖ ↑ ↗
← S 27.362010°
E 21.016846°		 ← 1 084.91 m → S 27.362010°
E 21.027832°		 →
↑
1 084.92 m
↓
↑
1 084.92 m
↓
S 27.371767°
E 21.016846°		 ← 1 084.81 m →
1 176 982 m²		 S 27.371767°
E 21.027832°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 18297 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 18975 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.558395385742188 y=0.579086303710938 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.558395385742188 × 215)
    floor (0.558395385742188 × 32768)
    floor (18297.5)     		tx = 18297
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.579086303710938 × 215)
    floor (0.579086303710938 × 32768)
    floor (18975.5)     		ty = 18975
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 18297 / 18975 ti = "15/18297/18975"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/18297/18975.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 18297 ÷ 215
    18297 ÷ 32768     		x = 0.558380126953125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 18975 ÷ 215
    18975 ÷ 32768     		y = 0.579071044921875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.558380126953125 × 2 - 1) × π
    0.11676025390625 × 3.1415926535     		Λ = 0.36681316
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.579071044921875 × 2 - 1) × π
    -0.15814208984375 × 3.1415926535     		Φ = -0.496818027662262
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.36681316} λ = 0.36681316}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.496818027662262))-π/2
    2×atan(0.608463697298901)-π/2
    2×0.546619576378922-π/2
    1.09323915275784-1.57079632675     		φ = -0.47755717
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.36681316} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 21.016846°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.47755717 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -27.362010°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 18297 KachelY 18975 0.36681316 -0.47755717 21.016846 -27.362010
    Oben rechts KachelX + 1 18298 KachelY 18975 0.36700490 -0.47755717 21.027832 -27.362010
    Unten links KachelX 18297 KachelY + 1 18976 0.36681316 -0.47772746 21.016846 -27.371767
    Unten rechts KachelX + 1 18298 KachelY + 1 18976 0.36700490 -0.47772746 21.027832 -27.371767
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.47755717--0.47772746) × R
    0.000170290000000017 × 6371000     		dl = 1084.91759000011m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.47755717--0.47772746) × R
    0.000170290000000017 × 6371000     		dr = 1084.91759000011m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.36681316-0.36700490) × cos(-0.47755717) × R
    0.000191739999999996 × 0.888120323147151 × 6371000     		do = 1084.90606333343m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.36681316-0.36700490) × cos(-0.47772746) × R
    0.000191739999999996 × 0.88804204310942 × 6371000     		du = 1084.81043835407m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.47755717)-sin(-0.47772746))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.888120323147151-0.88804204310942)×R²
    abs(0.36700490-0.36681316)×7.82800377312487e-05×R²
    0.000191739999999996×7.82800377312487e-05×6371000²
    0.000191739999999996×7.82800377312487e-05×40589641000000     		ar = 1176981.80184157m²