Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
15 / 18296 / 19112
↖ ↑ ↗
← S 28.690588°
E 21.005859°		 ← 1 071.65 m → S 28.690588°
E 21.016846°		 →
↑
1 071.60 m
↓
↑
1 071.60 m
↓
S 28.700225°
E 21.005859°		 ← 1 071.55 m →
1 148 332 m²		 S 28.700225°
E 21.016846°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 18296 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 19112 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.558364868164062 y=0.583267211914062 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.558364868164062 × 215)
    floor (0.558364868164062 × 32768)
    floor (18296.5)     		tx = 18296
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.583267211914062 × 215)
    floor (0.583267211914062 × 32768)
    floor (19112.5)     		ty = 19112
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 18296 / 19112 ti = "15/18296/19112"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/18296/19112.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 18296 ÷ 215
    18296 ÷ 32768     		x = 0.558349609375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 19112 ÷ 215
    19112 ÷ 32768     		y = 0.583251953125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.558349609375 × 2 - 1) × π
    0.11669921875 × 3.1415926535     		Λ = 0.36662141
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.583251953125 × 2 - 1) × π
    -0.16650390625 × 3.1415926535     		Φ = -0.523087448654053
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.36662141} λ = 0.36662141}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.523087448654053))-π/2
    2×atan(0.592687826976383)-π/2
    2×0.53502555395465-π/2
    1.0700511079093-1.57079632675     		φ = -0.50074522
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.36662141} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 21.005859°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.50074522 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -28.690588°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 18296 KachelY 19112 0.36662141 -0.50074522 21.005859 -28.690588
    Oben rechts KachelX + 1 18297 KachelY 19112 0.36681316 -0.50074522 21.016846 -28.690588
    Unten links KachelX 18296 KachelY + 1 19113 0.36662141 -0.50091342 21.005859 -28.700225
    Unten rechts KachelX + 1 18297 KachelY + 1 19113 0.36681316 -0.50091342 21.016846 -28.700225
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.50074522--0.50091342) × R
    0.000168200000000063 × 6371000     		dl = 1071.6022000004m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.50074522--0.50091342) × R
    0.000168200000000063 × 6371000     		dr = 1071.6022000004m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.36662141-0.36681316) × cos(-0.50074522) × R
    0.000191750000000046 × 0.877225040739587 × 6371000     		do = 1071.65254085059m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.36662141-0.36681316) × cos(-0.50091342) × R
    0.000191750000000046 × 0.877144278976417 × 6371000     		du = 1071.5538791108m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.50074522)-sin(-0.50091342))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.877225040739587-0.877144278976417)×R²
    abs(0.36681316-0.36662141)×8.07617631700674e-05×R²
    0.000191750000000046×8.07617631700674e-05×6371000²
    0.000191750000000046×8.07617631700674e-05×40589641000000     		ar = 1148332.36005029m²